Problemi con un campo di spezzamento
Ciao a tutti, ho dei problemi a trovare e determinare il grado del campo di spezzamento su $QQ$ di questo polinomio:
$2x^4+6x^2-5$. Scusate se non posto i miei precedenti tentativi, ma fanno davvero pena. Sappiate però che li ho fatti , dato che era un esercizio del compito, che difatti ho sbagliato (anche se sul grado c'ho azzeccato, ma con motivazioni che non stanno nè in cielo nè in terra). Mi servirebbe quindi veramente tanto sapere una corretta risoluzione dell'esercizio. Ringrazio, come sempre, chiunque vorrà dirigermi sulla buona strada
$2x^4+6x^2-5$. Scusate se non posto i miei precedenti tentativi, ma fanno davvero pena. Sappiate però che li ho fatti , dato che era un esercizio del compito, che difatti ho sbagliato (anche se sul grado c'ho azzeccato, ma con motivazioni che non stanno nè in cielo nè in terra). Mi servirebbe quindi veramente tanto sapere una corretta risoluzione dell'esercizio. Ringrazio, come sempre, chiunque vorrà dirigermi sulla buona strada
Risposte
ma vuoi solo sapere il grado del campo di spezzamento oppure anche il campo di spezzamento?
"miuemia":
ma vuoi solo sapere il grado del campo di spezzamento oppure anche il campo di spezzamento?
Il grado lo so (dovrebbe essere 8) ma mi servirebbe vedere la corretta risoluzione, quindi anche il campo di spezzamento vero e proprio. Grazie per l'attenzione.
si anche a me torna $8$. e allora il campo è semplice in quanto il polinomio è irriducibile e allora una prima estensione ti da grado 4 poi se fai la sostituzione $x^2=t$ trovi esplicitamente le 4 radici e vedi che due sono reali e due complesse complessse coniugate e conoscendo le radici sai il campo di spezzamento
Ho motivato così anch'io, solo che ho preso 1 punto su 4. Ho dimostrato correttamente che il grado del campo ($QQ(+- sqrt((-3+sqrt(19))/2),+-isqrt(((3+sqrt(19))/2))$) è al minimo $8$, ma non sono riuscito a dimostrare che era anche al massimo $8$.
ma questo è esattamente il campo di spezzamento in quanto il gruppo di galois d f è isomorfo a $D_4$... puoi trovare qualcosa a link qui sotto
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
Ora non ho tmepo di guardare il link, però noi i gruppi di Galois neanche li abbiamo fatti, è programma del prossimo anno. La dimostrazione deve essere "terra terra"..
allore vedi se ti convince questo.
ovviamente il campo di spezzamento è dato da $E=QQ(\alpha,\beta)$ dove $\alpha=\sqrt{-3+\sqrt{19}}/2$ e $\beta=i\sqrt{3+\sqrt{19}}/2$
ora visto che $f$ è irriducibile su $QQ$ abbiamo che $[QQ(\alpha):QQ]=[QQ(\beta):QQ]=4$
per vedere che $[E]=8$ dobbiamo verificare che $[E:QQ(\alpha)]=2$ oppure $[E:QQ(\beta)]=2$ tanto è la stessa cosa.
bene faccio vedere che $[E:QQ(\alpha)]=2$, per dimostrarlo basta calcolare il polinomio minimo di $\beta$ su $QQ(\alpha)$ se tale polinomio ha grado 2 ed è irriducibile su $QQ(\alpha)$ siamo a posto.
ora io so che $\beta^2=-\frac{3+\sqrt{19}}{2}$ quindi è zero di $g(x)=x^2 +\frac{3+\sqrt{19}}{2}$ ora tale polinomio è a coefficienti in $QQ(\alpha)$ in quanrto
$\frac{3+\sqrt{19}}{2}=\alpha^2 +3\in QQ(\alpha)$ ed è ovviamente irriducibile su tale campo in quanto $QQ(\alpha)\subset RR$ e gli zeri di $g(x)$ sono complessi. dunque abbiamo che il polinomio minimo di $\beta$ su $QQ(\alpha)$ è proprio $g$ ed è irr per quanto detto sopra e dunque $[E:QQ(\alpha)]=2$
un ragionamento analogo lo puoi fare per l'estensione $QQ(\beta)\subset E$.
chiaro? e qui non ho utilizzato la teoria di Galois
ovviamente il campo di spezzamento è dato da $E=QQ(\alpha,\beta)$ dove $\alpha=\sqrt{-3+\sqrt{19}}/2$ e $\beta=i\sqrt{3+\sqrt{19}}/2$
ora visto che $f$ è irriducibile su $QQ$ abbiamo che $[QQ(\alpha):QQ]=[QQ(\beta):QQ]=4$
per vedere che $[E]=8$ dobbiamo verificare che $[E:QQ(\alpha)]=2$ oppure $[E:QQ(\beta)]=2$ tanto è la stessa cosa.
bene faccio vedere che $[E:QQ(\alpha)]=2$, per dimostrarlo basta calcolare il polinomio minimo di $\beta$ su $QQ(\alpha)$ se tale polinomio ha grado 2 ed è irriducibile su $QQ(\alpha)$ siamo a posto.
ora io so che $\beta^2=-\frac{3+\sqrt{19}}{2}$ quindi è zero di $g(x)=x^2 +\frac{3+\sqrt{19}}{2}$ ora tale polinomio è a coefficienti in $QQ(\alpha)$ in quanrto
$\frac{3+\sqrt{19}}{2}=\alpha^2 +3\in QQ(\alpha)$ ed è ovviamente irriducibile su tale campo in quanto $QQ(\alpha)\subset RR$ e gli zeri di $g(x)$ sono complessi. dunque abbiamo che il polinomio minimo di $\beta$ su $QQ(\alpha)$ è proprio $g$ ed è irr per quanto detto sopra e dunque $[E:QQ(\alpha)]=2$
un ragionamento analogo lo puoi fare per l'estensione $QQ(\beta)\subset E$.
chiaro? e qui non ho utilizzato la teoria di Galois
Sei stato gentilissimo/a, era proprio quello che intendevo con dimostrazione "terra terra"!! Grazie davvero.
Solo un'altra domanda:
Per dimostrare che il polinomio $f(x)$ di partenza è irriducibile su $QQ$, è corretto dire che, siccome $f(1/x)=-5x^4+6x^2+2$ è irriducibile su $QQ$ per il criterio di Esinstein applicato con $p=2$, allora è irriducibile anche il polinomio $f(x)$?
Ancora grazie, spero un giorno di poter ricambiare (magari non sui campi....):-D
Solo un'altra domanda:
Per dimostrare che il polinomio $f(x)$ di partenza è irriducibile su $QQ$, è corretto dire che, siccome $f(1/x)=-5x^4+6x^2+2$ è irriducibile su $QQ$ per il criterio di Esinstein applicato con $p=2$, allora è irriducibile anche il polinomio $f(x)$?
Ancora grazie, spero un giorno di poter ricambiare (magari non sui campi....):-D
no fai attenzione che $f(1/x)$ è uguale a $\frac{-5x^4 +6x^2+2}{x^4}$ e questo non è più un polinomio ma è un elemento che sta nel campo delle funzioni razionali.
io direi che è molto più immediato vedere che è irriducibile infatti è immediato vedere che non ha radici su $QQ$ quindi se si fattorizzasse si fattorizza come prodotto di due polinomi di grado 2 ma questi sai come sono fatti in quanto sono $x^2-\alpha$ e $x^2+\beta$ e questi ovviamente non stanno in $QQ[x]$
io direi che è molto più immediato vedere che è irriducibile infatti è immediato vedere che non ha radici su $QQ$ quindi se si fattorizzasse si fattorizza come prodotto di due polinomi di grado 2 ma questi sai come sono fatti in quanto sono $x^2-\alpha$ e $x^2+\beta$ e questi ovviamente non stanno in $QQ[x]$
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