Problemi con sistemi di congruenze...help me

[stefanosteve]

Salve a tutti...ho un piccolo problema nel risolvere alcune congruenze e sistemi...devo risolvere questo sistema di congruenze:

2x ≡ 7 mod 9
9x ≡ 6 mod 12

innanzi tutto l'ho semplificato in questo sistema:

x ≡ 8 mod 9
x ≡ 2 mod 12

dopo di che ho verificato che MCD(12,9) dividesse 8-2 cosi so che il sistema ammette soluzioni per il teorema cinese del resto

ho applicato euclide a MCD(12,9) ed ho trovato che MCD(12,9) = 12 + (-1)*9

e visto che

8-2 = 2*MCD(12,9)
8-2 = 2*(12+(-1)*9)
8 - 2*12 = 2 - 2*9
-16 = -16
quindi c=-16 è soluzione particolare del sistema
per trovare la soluzione completa basta calcolo:
Sol={ -16 + [12,9]k | k appartiene a Z} = ... = -16mod36 = 20mod36

è corretto? dove sbaglio?

[_luca.barletta]

Innanzitutto benvenuto.
Bisogna trovare gli x tale che:
${(2x-=7 (mod9)),(9x-=6 (mod12)):}$
cioé
${(x-=8 (mod9)),(x-=2 (mod4)):}$
dato che $gcd(9,4)=1$ si troveranno soluzioni modulo 36.
Dalla prima equazione si ha:
$x=8+9m$
e dalla seconda:
$8+9m-=2 (mod4)$ cioé
$m-=2 (mod4)$ e risostituendo nella prima:
$x=8+9(2+4n)=26+36n$
$x-=26 (mod36)$

[stefanosteve]

"luca.barletta":
Bisogna trovare gli x tale che:
${(2x-=7 (mod9)),(9x-=6 (mod12)):}$
cioé
${(x-=8 (mod9)),(x-=2 (mod4)):}$

ma è sbagliato dire che

9x ≡ 6 mod 12 è equivalente a x ≡ 2 mod 12 e poi risolvere il sistema?scusate i miei dubbi, ma devo ancora capire bene queste cose..

[_luca.barletta]

"stefanosteve":[quote="luca.barletta"]
Bisogna trovare gli x tale che:
${(2x-=7 (mod9)),(9x-=6 (mod12)):}$
cioé
${(x-=8 (mod9)),(x-=2 (mod4)):}$

ma è sbagliato dire che

9x ≡ 6 mod 12 è equivalente a x ≡ 2 mod 12 e poi risolvere il sistema?scusate i miei dubbi, ma devo ancora capire bene queste cose..[/quote]

$x-=2 (mod12)$ non è l'unica soluzione alla 2a equaz, infatti c'è anche 6mod12 e 10mod12, in sostanza $x-=2(mod4)$.
Questo perché $gcd(9,12)=3$ e $3|6$, dunque si hanno 3 soluzioni modulo 12.

[stefanosteve]

"luca.barletta":
$x-=2 (mod12)$ non è l'unica soluzione alla 2a equaz, infatti c'è anche 6mod12 e 10mod12, in sostanza $x-=2(mod4)$.
Questo perché $gcd(9,12)=3$ e $3|6$, dunque si hanno 3 soluzioni modulo 12.

come fai a dire cosi al volo che con $x-=2 (mod12)$ le tre soluzioni sono: 6mod12 e 10mod12 e 2mod12?

poi ho un'altro piccolo problema..come faccio a calcolare la congruenza $3x-=10 (mod6)$ ?? perchè le soluzioni ci sono visto che MCD(3,6) divide 6 ma poi nn riesco ad andare avanti...scusa la mia ignoranza

[Steven11]

Per quanto riguarda i dubbi sulla prima congruenza del sistema, ti rimando qui, forse può esserti utile.
https://www.matematicamente.it/forum/div ... 20746.html
Ovvero, avendo
$9x\equiv6\mod12$ dividi tutto (pure il modulo, guarda nel link)
$3x\equiv2\mod4$ ovvero
$-x\equiv2\mod4\impliesx\equiv-2\equiv2\mod4$
Modulo due, puoi direttamente dire
$x\equiv0\mod2$ visto che $x$ è palesemente pari, come puoi vedere dalla forma originaria.

"stefanosteve":
poi ho un'altro piccolo problema..come faccio a calcolare la congruenza $3x-=10 (mod6)$ ?? perchè le soluzioni ci sono visto che MCD(3,6) divide 6 ma poi nn riesco ad andare avanti...scusa la mia ignoranza

Mi sembra un tantino impossibile quella congruenza.
Infatti la quantità
$3x-10$ non è mai divisibile per $3$ (quindi nemmeno per $6$).
Infatti
$\frac{3x-10}{3}=x-10/3$ risultato ovviamente non intero.

ps: "un" altro non vuole l'apostrofo

Ciao!