Problemi con irriducibilità

[process11]

devo dimostrare che $2-isqrt11$ è irriducibile in $Z[isqrt11]$. scrivo $2-isqrt11=xy$ e devo far vedere che o x o y è invertibile. prendo la norma $15=N(2-isqrt11)=N(xy)=N(x)N(y)$ ho quattro possibilita
mi voglio concentrare su questa e far vedere che non è vera
$N(x)=5$ e $N(y)=3$ :faccio vedere che non ci sono elementi $a in Z[isqrt11]$ tali che $N(a)=3$ e $N(a)=5$.

a appartiene a $Z[isqrt11]$ quindi la norma di a sarà uguale a $(a_o )^2+11(a_1) ^2$ e devo far veder che l'equazione
$(a_o )^2+11(a_1) ^2=3$ è impossibile. considero le classi di congruenza modulo 11 è ho che $[(a_o )^2]$ è conguo a 3 modulo 11. ma 3 è un quadrato modulo 11 quindi questa congruenza va bene...anche con il 5 succede la stessa cosa...eppure non dovrebbe essere cosi, perchè altrimenti nè x ne y è invertibile...dove è l'errore??

[girdav]

Siccome $a_0$ e $a_1$ sono interi, e $3\geq 11 a_1^2$, si deve avere $a_1=0$ e dunque non si può trovare $a_0$ tale che $a_0^2=3$. Con $5$ è la stessa cosa.