Problemi con gli Anelli
Buongiorno a tutti, mi servirebbe un aiuto sugli anelli 
Allora vi descrivo l'esercizio
Sono assegnate sull'insieme A = $ZZ$_6 le leggi di composizione interne +, -
a) verificare che (A,+,*) è un anello
Come lo verifico?? Nel senso devo fare delle dimostrazioni o posso dire semplicemente che è un anello perche:
- (A, +) è associativa, ha elemento neutro e ogni elemento è invertibile perche in $ZZ$ l'addizione ha quelle proprieta
- $(A, *)$ perche in $ZZ$ il prodotto ammette elemento neutro ed è associativa
- E vale la proprieta distributiva $a * (b + c) = a*b + a*c$
b)Stabilire che un anello è di boole
Qui tutto ok
c) Trovare i divisori dello zero di A
anche qui tutto ok
d) Trovare elementi unitari di A(gli elementi che hanno inverso moltiplicativo)
Come si fa??
Io dalla teoria leggo che un elemento è unitario se è invertibile rispetto a $*$ ma come lo dimostro??
Allora vi descrivo l'esercizio
Sono assegnate sull'insieme A = $ZZ$_6 le leggi di composizione interne +, -
a) verificare che (A,+,*) è un anello
Come lo verifico?? Nel senso devo fare delle dimostrazioni o posso dire semplicemente che è un anello perche:
- (A, +) è associativa, ha elemento neutro e ogni elemento è invertibile perche in $ZZ$ l'addizione ha quelle proprieta
- $(A, *)$ perche in $ZZ$ il prodotto ammette elemento neutro ed è associativa
- E vale la proprieta distributiva $a * (b + c) = a*b + a*c$
b)Stabilire che un anello è di boole
Qui tutto ok
c) Trovare i divisori dello zero di A
anche qui tutto ok
d) Trovare elementi unitari di A(gli elementi che hanno inverso moltiplicativo)
Come si fa??
Io dalla teoria leggo che un elemento è unitario se è invertibile rispetto a $*$ ma come lo dimostro??
Risposte
Si può dimostrare che gli elementi invertibili sono quelli coprimi con $n=6$
In realtà essendo $6$ piccolo, puoi anche provare a fare una tavola moltiplicativa e renderti conto tu stesso della situazione
In realtà essendo $6$ piccolo, puoi anche provare a fare una tavola moltiplicativa e renderti conto tu stesso della situazione
Una soluzione che ho visto è quella di fare MCD tra un elemento x e 6...se esce uno vuol dire che è unitario è giusta come soluzione??
"vecio88":
Una soluzione che ho visto è quella di fare MCD tra un elemento x e 6...se esce uno vuol dire che è unitario è giusta come soluzione??
in effetti fai esattamente quello che ti ha detto mistake89, perchè due interi si dicono coprimi quando il MCD è 1.
L'altro punto dice di trovare i sottogruppi di (A, +) come si fa??
Che strumenti hai a disposizione? Il teorema cinese del resto? In tal caso puoi pensare che $ZZ_6 \cong ZZ_2 \times ZZ_3$ e quindi concludere...
Oppure puoi sporcarti le mani e provare a fare un po' di calcoli, aiutandoti con il teorema di Lagrange.
Oppure puoi sporcarti le mani e provare a fare un po' di calcoli, aiutandoti con il teorema di Lagrange.
Che io sappia abbiamo usato il teorema di lagrange
Percio dovrei fare cosi:
($ZZ$_6 , *)
$ZZ$_6 = {0,1,2,3,4,5}
|$ZZ$_6| = 6
I divisori sono ( 1,2,3,6)
Ora devo iniziare a vedere qual'è il generatore e faccio
$2 * 2 = 4
2 * 3 = 6 = 0
2 * 4 = 8 = 2
2 * 5 = 4
2 * 6 = 0 $
Ok poi come vado avanti?? Da quello che mi sembra di capire dalla teoria i generatori sono quelli dove il risultato mi da 0( = G)
Percio dovrei fare cosi:
($ZZ$_6 , *)
$ZZ$_6 = {0,1,2,3,4,5}
|$ZZ$_6| = 6
I divisori sono ( 1,2,3,6)
Ora devo iniziare a vedere qual'è il generatore e faccio
$2 * 2 = 4
2 * 3 = 6 = 0
2 * 4 = 8 = 2
2 * 5 = 4
2 * 6 = 0 $
Ok poi come vado avanti?? Da quello che mi sembra di capire dalla teoria i generatori sono quelli dove il risultato mi da 0(
Aspetta. Anzitutto il sottogruppo che cerchiamo è additivo di $(ZZ_6,+)$.
Puoi anche dire che esistono il sottogruppo banale ${0}$ e quello totale $ZZ_6$.
Ora veniamo ai casi interessanti. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
Quindi essendolo $ZZ_6$ ciclico, possiamo ridurci a ricercare i generatori del sottogruppo.
Ora tiriamo in ballo il teorema di lagrange, che ci dice che i sottogruppi devono avere necessariamente ordine pari ad un divisore di $6$. Bada che questo non asserisce l'esistenza ad ogni divisore di $6$.
Allora per $1$ e per $6$ siamo apposto, sono quelli banali che abbiamo elencato subito.
Di periodo $2$ abbiamo l'elemento $3$. Infatti $2*3=6=0$. Quindi abbiamo un sottogruppo formato da ${0,3}$. Facile provare che è un sottogruppo
Di periodo $3$ abbiamo gli elementi $2,4$. Che andranno a formare a loro volta un sottogruppo così composto ${0,2,4}= <2> = <4>$.
Sarebbero rimasti fuori gli elementi $1,5$ ma questi sappiamo essere generatori di $ZZ_6$, quindi si ha $<1> = <5> =ZZ_6$. D'altra parte sappiamo che $ZZ_6$ ha $phi(6)=2$ generatori.
Spero risulti tutto chiaro.
Puoi anche dire che esistono il sottogruppo banale ${0}$ e quello totale $ZZ_6$.
Ora veniamo ai casi interessanti. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
Quindi essendolo $ZZ_6$ ciclico, possiamo ridurci a ricercare i generatori del sottogruppo.
Ora tiriamo in ballo il teorema di lagrange, che ci dice che i sottogruppi devono avere necessariamente ordine pari ad un divisore di $6$. Bada che questo non asserisce l'esistenza ad ogni divisore di $6$.
Allora per $1$ e per $6$ siamo apposto, sono quelli banali che abbiamo elencato subito.
Di periodo $2$ abbiamo l'elemento $3$. Infatti $2*3=6=0$. Quindi abbiamo un sottogruppo formato da ${0,3}$. Facile provare che è un sottogruppo
Di periodo $3$ abbiamo gli elementi $2,4$. Che andranno a formare a loro volta un sottogruppo così composto ${0,2,4}= <2> = <4>$.
Sarebbero rimasti fuori gli elementi $1,5$ ma questi sappiamo essere generatori di $ZZ_6$, quindi si ha $<1> = <5> =ZZ_6$. D'altra parte sappiamo che $ZZ_6$ ha $phi(6)=2$ generatori.
Spero risulti tutto chiaro.
Allora fammi capire una cosa io devo considerare i numeri da 0 a 5?? O da 1 a 6??
- Poi abbiamo detto che 1 e 6 è sempre generatore
I sottogruppi sono
- di periodo 2: {0, 3}
- di periodo 3: {0, 2, 4}
- periodo 4 no perche non è divisore di 6
- idem per 5
Giusto??
Percio dovro scrivere che i sottogruppi sono
- di periodo 2: {0, 3}
- di periodo 3: {0, 2, 4}
0 e 6
- Poi abbiamo detto che 1 e 6 è sempre generatore
I sottogruppi sono
- di periodo 2: {0, 3}
- di periodo 3: {0, 2, 4}
- periodo 4 no perche non è divisore di 6
- idem per 5
Giusto??
Percio dovro scrivere che i sottogruppi sono
- di periodo 2: {0, 3}
- di periodo 3: {0, 2, 4}
0 e 6
Allora considera $0$ o $6$ è indifferente. Scegli tu. Io preferisco considerare le classi di resto da $0$ a $5$.
Allora con $1,6$ mi riferivo non agli elementi ma ai sottogruppi. Infatti il sottogruppo di ordine $1$ è quello banale che contiene la sola identità, in questo caso lo $0$. Invece il sottogruppo con $6$ elementi è il gruppo stesso.
Io il periodo l'ho sempre trovato riferito agli elementi e mai a degli insiemi. Io credo che sia meglio dire ordine.
I sottogruppi sono quelli che hai elencato. Però attenzione $0,6$ sono elementi non sottogruppi, quindi esprimiti meglio
Allora con $1,6$ mi riferivo non agli elementi ma ai sottogruppi. Infatti il sottogruppo di ordine $1$ è quello banale che contiene la sola identità, in questo caso lo $0$. Invece il sottogruppo con $6$ elementi è il gruppo stesso.
Io il periodo l'ho sempre trovato riferito agli elementi e mai a degli insiemi. Io credo che sia meglio dire ordine.
I sottogruppi sono quelli che hai elencato. Però attenzione $0,6$ sono elementi non sottogruppi, quindi esprimiti meglio
Capito senti per il punto a come risolvo??
senti per il punto a come risolvo??
nessuno mi puo aiutare???
Il punto A come lo risolvo in un esercizio??
Il punto A come lo risolvo in un esercizio??
il punto a, in questo caso, va bene secondo me...
Rieccomi ragazzi continuo a non riuscire a passare dalla teoria alla pratica senza aver visto almeno un esempio. Sempre su questo esercizio, c'è un punto che chiede di:
tracciare il diagramma di Hasse del reticolo dei sottogruppi di (A, +) ordinato per inclusione. Io so che un reticolo è ordinato se ha un estremo sup e uno inf...pero non so come svolgere l'esercizio
ragazzi continuo a non riuscire a passare dalla teoria alla pratica senza aver visto almeno un esempio. Sempre su questo esercizio, c'è un punto che chiede di:tracciare il diagramma di Hasse del reticolo dei sottogruppi di (A, +) ordinato per inclusione. Io so che un reticolo è ordinato se ha un estremo sup e uno inf...pero non so come svolgere l'esercizio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo