Problemi con anelli e campi
Ciao!
Vorrei avere alcune delucidazioni in merito:
- Ho un esempio nelle dispense in cui si costruisce la tabella moltiplicativa di $Z_5$* e questa è commutativa mentre quella di $Z_6$* no. Non capisco perché visto che, ad esempio, in $Z_6$* si ha che $2*3=0=3*2$.
- Vorrei vedere, per capire, un esempio in cui un anello non è commutativo e un esempio in cui un anello non è unitario
- Un campo si ha solo quando ho $Z_p$* con p primo e quando ogni elemento ha un inverso? O ce l'ho anche quando p non è primo?
Grazie.
Vorrei avere alcune delucidazioni in merito:
- Ho un esempio nelle dispense in cui si costruisce la tabella moltiplicativa di $Z_5$* e questa è commutativa mentre quella di $Z_6$* no. Non capisco perché visto che, ad esempio, in $Z_6$* si ha che $2*3=0=3*2$.
- Vorrei vedere, per capire, un esempio in cui un anello non è commutativo e un esempio in cui un anello non è unitario
- Un campo si ha solo quando ho $Z_p$* con p primo e quando ogni elemento ha un inverso? O ce l'ho anche quando p non è primo?
Grazie.
Risposte
Per il terzo punto ho trovato risposta, cioè p deve essere primo.
un anello non unitario può essere ad esempio $2ZZ$
un anello non commutativo le matrici NxN a coefficienti reali
e credo che $ZZ_6$* sia commutativo
non vorrei aver detto stupidaggini
un anello non commutativo le matrici NxN a coefficienti reali
e credo che $ZZ_6$* sia commutativo
non vorrei aver detto stupidaggini
Beh, $2ZZ$ non è un anello.. Io direi che se un anello A non è unitario, allora A={0}.
Scusami, ma $2Z$ essendo un sottogruppo di Z ha anche l'elemento neutro quindi come fa a non essere un anello unitario? Per quanto riguarda $Z_6$ anch'io non capisco come non possa essere commutativo. Ti do il link delle dispense che uso magari ho capito male io:
http://www.mat.uniroma1.it/people/papi/algbase2004.pdf
Grazie.
http://www.mat.uniroma1.it/people/papi/algbase2004.pdf
Grazie.
"Manugal":
Vorrei vedere, per capire, un esempio in cui un anello non è commutativo
Per esempio, l'anello delle matrici 2x2 a coefficienti reali non è commutativo perché $((2,3),(0,1))((1,1),(0,1)) = ((2,5),(0,1))$ ma $((1,1),(0,1))((2,3),(0,1))=((2,4),(0,1))$
- Un campo si ha solo quando ho $Z_p$* con p primo e quando ogni elemento ha un inverso? O ce l'ho anche quando p non è primo?
Un campo finito ha un numero primo p come caratteristica, quindi contiene un campo isomorfo a $ZZ/(pZZ)$. Ne segue che ogni campo finito è spazio vettoriale su un qualche $ZZ/(pZZ)$. Se la sua dimensione è n, la sua cardinalità è $p^n$. Quindi ogni campo finito ha come cardinalità la potenza di un numero primo.
Per esempio $(ZZ/(2ZZ)[X])/((x^2+x+1))$ è un campo con 4 elementi. Se $theta$ è una radice di $x^2+x+1$, tali elementi sono $0,1,theta,theta+1$.
"Martino":
Beh, $2ZZ$ non è un anello.. Io direi che se un anello A non è unitario, allora A={0}.
grazie per la correzione. ho pensato che essendo un sottoanello di $ZZ$ ne ereditasse la struttura.
edit: è un sottoanello di $ZZ$?
ariedit: cito dal libro di testo:" un anello con unità non potrà mai essere isomorfo ad un anello senza unità: quindi ad esempio $ZZ$ non è isomorfo come anello a $2ZZ$". dove per $2ZZ$ intendo ${ninZZ| EEkinZZ, n=2k}$
"Manugal":
Scusami, ma $2Z$ essendo un sottogruppo di Z ha anche l'elemento neutro quindi come fa a non essere un anello unitario?.
Forse non ci troviamo sulle definizioni ... per me "anello unitario" significa che in tale anello $1 \ne 0$ (forse mi sbaglio, non è questa la definizione?).
Ora, $2ZZ$ per me non è un anello perché non ammette elemento neutro per la moltiplicazione.
Scusami Martino ma sei troppo avanti per me 
Isomorfismi e cose del genere ancora non ne faccio.
Per le matrici OK. Non capisco perché dici che $2Z$ non è un anello.
Isomorfismi e cose del genere ancora non ne faccio.
Per le matrici OK. Non capisco perché dici che $2Z$ non è un anello.
Pardon 
Perché non ha un elemento neutro rispetto al prodotto.
"Manugal":
Per le matrici OK. Non capisco perché dici che $2Z$ non è un anello.
Perché non ha un elemento neutro rispetto al prodotto.
sempre dal testo: un anello si dice unitario o con unità se esiste a in R tale che a*b=b*a=b pero b in R
"rubik":
sempre dal testo: un anello si dice unitario o con unità se esiste a in R tale che a*b=b*a=b pero b in R
Ok, scusatemi, io ho sempre visto un anello come "gruppo abeliano rispetto a +" & "monoide rispetto a *". Non sapevo "esistessero" anelli senza unità
Scusate ancora.
Scusa ma continuo a non capire. Elemento neutro rispetto al prodotto è 1 giusto? Siccome $2Z$ è un sottogruppo di $Z$, $2Z$ deve avere l'elemento neutro (altrimenti non sarebbe neanche un sottogruppo).
"Manugal":
Scusa ma continuo a non capire. Elemento neutro rispetto al prodotto è 1 giusto? Siccome $2Z$ è un sottogruppo di $Z$, $2Z$ deve avere l'elemento neutro (altrimenti non sarebbe neanche un sottogruppo).
$2ZZ$ ha l'elemento neutro rispetto alla somma, ma non quello rispetto al prodotto ($2ZZ$ è sottogruppo additivo di $ZZ$).
Ah ok, ora ho capito. Per quanto riguarda $Z_6$ avete capito perché non è commutativo?
"Manugal":
Ah ok, ora ho capito. Per quanto riguarda $Z_6$ avete capito perché non è commutativo?
Veramente, $ZZ/(6ZZ)$ è un anello commutativo...
Prova a riportare le operazioni sulla tabella di $ZZ/(6ZZ)$ delle dispense.
Edit: ok, quel * sta ad indicare il prodotto
No quel * sta ad indicare $Z_6-{la classe 0}$. La tabella moltiplicativa è scritta sulle dispense che ho postato (adesso riscriverla tutta in MathML proprio non me la sento ). E proprio su quelle dispense mi dice che siccome in $Z_6$ esistono classi a e b diverse dalla classe 0 tali che a*b=0 e che in $Z_6$, oltre alla classe 1, solamente 5 ha l'inverso e risulta 5*5=1, allora si può affermare che ${Z_6-{la classe 0},*} $non è un gruppo commutativo. Cioè sembra che queste due caratteristiche implichino la non commutatività, però guardando la tabella mi sembra commutativo. O è uno sbaglio della dispensa o non c'ho capito niente io.
Edit: Comunque è $Z_6$ cioè l'insieme quoziente e non $6Z$
). E proprio su quelle dispense mi dice che siccome in $Z_6$ esistono classi a e b diverse dalla classe 0 tali che a*b=0 e che in $Z_6$, oltre alla classe 1, solamente 5 ha l'inverso e risulta 5*5=1, allora si può affermare che ${Z_6-{la classe 0},*} $non è un gruppo commutativo. Cioè sembra che queste due caratteristiche implichino la non commutatività, però guardando la tabella mi sembra commutativo. O è uno sbaglio della dispensa o non c'ho capito niente io.Edit: Comunque è $Z_6$ cioè l'insieme quoziente e non $6Z$
"Manugal":
si può affermare che ${Z_6-{la classe 0},*} $non è un gruppo commutativo.
Certo che non è un gruppo commutativo! Non è nemmeno un gruppo!
Ma non è un gruppo perché ogni elemento non ha l'inverso?
"Manugal":
Ma non è un gruppo perché ogni elemento non ha l'inverso?
Non è nemmeno un semigruppo
Infatti la legge di prodotto in $ZZ_6$ non induce una operazione binaria interna in $ZZ_6-\{0\}$ (per esempio, $2 * 3 = 0$ e 0 non appartiene a $Z_6-\{0\}$, mentre 2 e 3 sì).
non ho letto le dispense che ha linkato manugal però da noi all'università con $ZZ_6$* si indicava il gruppo moltiplicativo degli invertibili di $ZZ_6$ (che comunque è commutativo). non so se magari anche in questo caso..
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