Problema vettori indipendenti
Salve a tutti, non riesco a risolvere un problema di algebra lineare.
Il problema è il seguente:
Siano v1,v2 e v3 tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V. Dimostrare che v1+v2, v2+v3 e v1+v3 sono linearmente indipendenti.
Allora, io so che per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti bisogna procedere così:
x(i,j,k)+y(i1,j1,k1)+z(i2,j2,k2) = (0,0,0) ovvero se e solo se x=y=z=0
Ma mi trovo in difficoltà a rispondere al quesito che mi viene chiesto.
Come devo comportarmi di fronte ad un esercizio simile?
Spero che qualcuno mi risponda.
Il problema è il seguente:
Siano v1,v2 e v3 tre vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale V. Dimostrare che v1+v2, v2+v3 e v1+v3 sono linearmente indipendenti.
Allora, io so che per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti bisogna procedere così:
x(i,j,k)+y(i1,j1,k1)+z(i2,j2,k2) = (0,0,0) ovvero se e solo se x=y=z=0
Ma mi trovo in difficoltà a rispondere al quesito che mi viene chiesto.
Come devo comportarmi di fronte ad un esercizio simile?
Spero che qualcuno mi risponda.
Risposte
Chiamo u,v,z i vettori e a,b,c gli scalari
Per assurdo esistano a,b,c t.c.
$a(u+v)+b(v+z)+c(u+z)=0$ ma quello è uguale a
$(a+c)*u+(a+b)*v+(b+c)*c$ ma ponendo
${(a'=a+c),(b'=a+b),(c'=b+c):}$ trovo una comb lin che mi rende u,v,z lin dipendenti. Assurdo.
Per assurdo esistano a,b,c t.c.
$a(u+v)+b(v+z)+c(u+z)=0$ ma quello è uguale a
$(a+c)*u+(a+b)*v+(b+c)*c$ ma ponendo
${(a'=a+c),(b'=a+b),(c'=b+c):}$ trovo una comb lin che mi rende u,v,z lin dipendenti. Assurdo.
Ciao.
Si potrebbe provare in questo modo.
Si consideri
$a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_1+v_3)=0$
si deve dimostrare che $a=b=c=0$ è l'unica possibilità di annullare la combinazione lineare sopra scritta.
Allora vale
$(a+c)v_1+(a+b)v_2+(b+c)v_3=0$
Siccome i tre vettori dati $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti, allora si deve avere
${(a+c=0),(a+b=0),(b+c=0):}$
che ammette, come unica soluzione
${(a=0),(b=0),(c=0):}$
Saluti.
Si potrebbe provare in questo modo.
Si consideri
$a(v_1+v_2)+b(v_2+v_3)+c(v_1+v_3)=0$
si deve dimostrare che $a=b=c=0$ è l'unica possibilità di annullare la combinazione lineare sopra scritta.
Allora vale
$(a+c)v_1+(a+b)v_2+(b+c)v_3=0$
Siccome i tre vettori dati $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti, allora si deve avere
${(a+c=0),(a+b=0),(b+c=0):}$
che ammette, come unica soluzione
${(a=0),(b=0),(c=0):}$
Saluti.
grazie per le risposte...
però scusa, se fosse come dici tu, che:
a+c=0
a+b=0
b+c=0
implica che a=-c
quindi sostituisco nell equazione successiva e ottengo -c=-b
sostituendo nell ultima equazione ottengo b+b=0 e questo è evidente che è impossibile....
però scusa, se fosse come dici tu, che:
a+c=0
a+b=0
b+c=0
implica che a=-c
quindi sostituisco nell equazione successiva e ottengo -c=-b
sostituendo nell ultima equazione ottengo b+b=0 e questo è evidente che è impossibile....
Ma hai letto quello che ha scritto?
Peraltro $2b=0$ non è un'equazione né impossibile né indeterminata ma $(2b)/2=0/2\ =>\ b=0$ ...
Peraltro $2b=0$ non è un'equazione né impossibile né indeterminata ma $(2b)/2=0/2\ =>\ b=0$ ...
ahahah hai perfettamente ragione!!! ho detto una grandissima cavolata...
grazie a tutti!
grazie a tutti!
"bellrodo":
ahahah hai perfettamente ragione!!! ho detto una grandissima cavolata...
grazie a tutti!
Nessun problema, succede anche a me, di tanto in tanto (anche quando non dovrebbe, ahimè); l'importante è chiarirsi.
Saluti.
Chiama \(W=\mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\), il sottospazio generato dai tre vettori. Siccome sono linearmente indipendenti si ha che \(\dim(W)=3\). Considera quindi la applicazione lineare \(f\) da \(W\) in \(W\) data da \(f(\mathbf{v}_1)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\), \(f(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3\) e \(f(\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3\). Devi dimostrare che è un isomorfismo lineare/cambio di base. In altre parole ti basta dimostrare che \(\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) è invertibile/ha rango massimo.
Insomma è un metodo alternativo per farlo.
Insomma è un metodo alternativo per farlo.
grazie ancora,
scusa se ti disturbo; per f(v1) intendi un altro vettore diverso dal v1 dato nell'esercizio? ad esempio f(w1)=v1+v2?
quindi poi mi basta dimostrare che l'applicazione è lineare e il gioco è fatto giusto?
scusate la mia ignoranza ma avrei anche un altro dubbio...
se, per esempio, nel quesito dell'esercizio invece di (v2+v3) ci fosse stato scritto (kv2+v3) sarebbe cambiato qualcosa?
"vict85":
Chiama \( W=\mathcal{L}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3) \), il sottospazio generato dai tre vettori. Siccome sono linearmente indipendenti si ha che \( \dim(W)=3 \). Considera quindi la applicazione lineare \( f \) da \( W \) in \( W \) data da \( f(\mathbf{v}_1)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \), \( f(\mathbf{v}_2)=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3 \) e \( f(\mathbf{v}_3)=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_3 \). Devi dimostrare che è un isomorfismo lineare/cambio di base. In altre parole ti basta dimostrare che \( \displaystyle\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) è invertibile/ha rango massimo.
Insomma è un metodo alternativo per farlo.
scusa se ti disturbo; per f(v1) intendi un altro vettore diverso dal v1 dato nell'esercizio? ad esempio f(w1)=v1+v2?
quindi poi mi basta dimostrare che l'applicazione è lineare e il gioco è fatto giusto?
scusate la mia ignoranza ma avrei anche un altro dubbio...
se, per esempio, nel quesito dell'esercizio invece di (v2+v3) ci fosse stato scritto (kv2+v3) sarebbe cambiato qualcosa?
Con \(f(\mathbf{v}_1)\) intendo l'immagine tramite \(f\) del vettore \(\mathbf{v}_1\).
Riguardo alla tua domanda, se hai capito i nostri suggerimenti dovresti trovare la risposta da solo/a. Entrambi i metodi forniscono una risposta.
Riguardo alla tua domanda, se hai capito i nostri suggerimenti dovresti trovare la risposta da solo/a. Entrambi i metodi forniscono una risposta.
"vict85":
Con \( f(\mathbf{v}_1) \) intendo l'immagine tramite \( f \) del vettore \( \mathbf{v}_1 \).
Riguardo alla tua domanda, se hai capito i nostri suggerimenti dovresti trovare la risposta da solo/a. Entrambi i metodi forniscono una risposta.
Ok, per quanto riguarda il metodo consigliato da alessandro penso di aver capito; correggetemi se sbaglio:
Risolvo il sistema lineare omogeneo e scopro per quale valore del parametro k il sistema ammette solo la soluzione banale (quindi trovo il valore di k per il quale il rango della matrice associata al sistema sarà uguale al numero delle incognite e di conseguenza avrò a=b=c=0) giusto?
Invece per quanto riguarda il metodo consigliato da te (vict85), mi trovo in difficoltà a capirlo.. Però mi piacerebbe comprenderlo poiché potrebbe tornarmi utile.
Premetto che con le applicazioni lineari sono ancora un principiante, quindi perdona la mia ignoranza.
Il tuo metodo l'ho interpretato così:
Sia V l'isomorfismo di R^3 dato da V(v1,v2,v3) = (v1+v2; v2+v3; v1+v3) per ogni (v1, v2, v3) appartenenti a R^3
Mi basta dimostrare che la seguente applicazione è lineare (quindi che soddisfa contemporaneamente le 2 proprietà per la linearità) e il gioco è fatto. Giusto?
L'ho interpretato bene o non ci ho capito niente? Scusami e grazie ancora per il tuo aiuto!
I due metodi sono equivalenti, sono diversi solamente in termini di punto di vista, ma conducono allo stesso metodo operativo. Cambia insomma solo il modo in cui arrivi a motivare quel calcolo.
Insomma hai capito la mappa, ma non devi dimostrare che è lineare, ma che è invertibile/un isomorfismo. Ovvero in sostanza consideri la matrice associata alla mappa lineare e calcoli il determinante (o il rango se preferisci) e controlli che sia diverso da 0 (che sia massimo nel caso del rango).
Insomma hai capito la mappa, ma non devi dimostrare che è lineare, ma che è invertibile/un isomorfismo. Ovvero in sostanza consideri la matrice associata alla mappa lineare e calcoli il determinante (o il rango se preferisci) e controlli che sia diverso da 0 (che sia massimo nel caso del rango).
grazie mille!!!
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