Problema sulle estensioni
Salve, mi sono ritrovato alle prese con un esercizio di algebra che mi ha messo leggermente in crisi.
Sia $sigma=sqrt(2)+root(3)(3)$
Trovarne il polinomio minimo in $Q(sqrt(2))$ e una base della estensione di tale campo in $Q(sigma)$
Adesso illustro il mio ragionamento. L'intuito mi suggerisce che tale polinomio debba avere grado 3. In effetti, trovo tale polinomio smanettando un poco coi numeri di cui sigma è zero. $p(x)=x^3-3sqrt(2)x^2+6x-(2sqrt(2)+3)$
Adesso, se dimostro che tale polinomio è irriducibile ho finito. Tale estensione ha grado tre e la base è composta dalle potenze di sigma fino a 2. Qui iniziano i problemi. Come vedere che tale polinomio è irriducibile in $Q(sqrt(2))$?
Una simulazione numerica mi fa vedere che in effetti le altre due radici sono complesse e che dunque tale polinomio è irriducibile(essendo di grado tre). Essendo però l'esercizio didattico sono più che sicuro che non si debbano fare tali calcoli pazzeschi. Cerco allora di ragionare seguendo ciò che all'inizio mi aveva fatto supporre che il grado del polinomio fosse tre.
L'idea che sta alla base è questa:
Poiché sicuramente $Q(sqrt(2),root(3)(3))supeQ(sigma)$, allora posso costruire una estensione così fatta
$QrarrQ(sigma)rarrQ(sqrt(2),root(3)(3))$
Per il teorema dei gradi, poiché $[Q(sqrt(2),root(3)(3)):Q]=6$ allora sicuramente $[Q(sigma):Q]=6$ oppure $3$.
Se io fossi sicuro che tale grado è 6 (come sembra ovvio che sia) avrei finito.
Adesso, io posso esserne sicuro dicendo che il polinomio di prima di terzo grado ha coefficenti che non stanno in Q? Mi sembra un poco astrusa come cosa, per questo non sono convinto.
Allora ho pensato di dimostrare direttamente che $Q(sqrt(2),root(3)(3))subeQ(sigma)$ dimostrando che i due elementi ci stanno, ma non sono riuscito in nessuna maniera a venirne fuori.
A questo punto mi viene il dubbio? Possibile che tali campi non siano uguali ma semplicemente isomorfi?
Ovvero, una situazione di questo tipo $[Q(sqrt(2),root(3)(3)):Q(sigma)]=1$ mi assicura sempre che i due campi siano uguali o mi dice solo che sono isomorfi?
Ricapitolando insomma mi piacerebbe avere chiarita l'ultima parte dell'esercizio e dunque il dubbio posto a seguire, che è inerente ovviamente alla difficoltà riscontrata nell'esercizio.
Sia $sigma=sqrt(2)+root(3)(3)$
Trovarne il polinomio minimo in $Q(sqrt(2))$ e una base della estensione di tale campo in $Q(sigma)$
Adesso illustro il mio ragionamento. L'intuito mi suggerisce che tale polinomio debba avere grado 3. In effetti, trovo tale polinomio smanettando un poco coi numeri di cui sigma è zero. $p(x)=x^3-3sqrt(2)x^2+6x-(2sqrt(2)+3)$
Adesso, se dimostro che tale polinomio è irriducibile ho finito. Tale estensione ha grado tre e la base è composta dalle potenze di sigma fino a 2. Qui iniziano i problemi. Come vedere che tale polinomio è irriducibile in $Q(sqrt(2))$?
Una simulazione numerica mi fa vedere che in effetti le altre due radici sono complesse e che dunque tale polinomio è irriducibile(essendo di grado tre). Essendo però l'esercizio didattico sono più che sicuro che non si debbano fare tali calcoli pazzeschi. Cerco allora di ragionare seguendo ciò che all'inizio mi aveva fatto supporre che il grado del polinomio fosse tre.
L'idea che sta alla base è questa:
Poiché sicuramente $Q(sqrt(2),root(3)(3))supeQ(sigma)$, allora posso costruire una estensione così fatta
$QrarrQ(sigma)rarrQ(sqrt(2),root(3)(3))$
Per il teorema dei gradi, poiché $[Q(sqrt(2),root(3)(3)):Q]=6$ allora sicuramente $[Q(sigma):Q]=6$ oppure $3$.
Se io fossi sicuro che tale grado è 6 (come sembra ovvio che sia) avrei finito.
Adesso, io posso esserne sicuro dicendo che il polinomio di prima di terzo grado ha coefficenti che non stanno in Q? Mi sembra un poco astrusa come cosa, per questo non sono convinto.
Allora ho pensato di dimostrare direttamente che $Q(sqrt(2),root(3)(3))subeQ(sigma)$ dimostrando che i due elementi ci stanno, ma non sono riuscito in nessuna maniera a venirne fuori.
A questo punto mi viene il dubbio? Possibile che tali campi non siano uguali ma semplicemente isomorfi?
Ovvero, una situazione di questo tipo $[Q(sqrt(2),root(3)(3)):Q(sigma)]=1$ mi assicura sempre che i due campi siano uguali o mi dice solo che sono isomorfi?
Ricapitolando insomma mi piacerebbe avere chiarita l'ultima parte dell'esercizio e dunque il dubbio posto a seguire, che è inerente ovviamente alla difficoltà riscontrata nell'esercizio.
Risposte
Per dimostrare che $p(x)$ è irriducibile su $QQ(sqrt{2})$ puoi procedere così: dato che è di terzo grado bisogna dimostrare che non ha radici, ma $p(x)=(x-sqrt{2})^3-3$, quindi se ammettesse una radice $alpha \in QQ(sqrt{2})$, allora $alpha-sqrt{2}$ sarebbe una radice di $x^3-3$, e seguirebbe $root(3)(3) \in QQ(sqrt{2})$, assurdo.
Per quanto riguarda l'altro procedimento, potresti trovare il polinomio minimo di $sigma$ su $QQ$: conosci già quello su $QQ(sqrt{2})$, quindi l'unica cosa da fare è eliminare le radici di $2$ con un elevamento al quadrato:
$x^3+6x-3=sqrt{2} (3x^2+2) \Rightarrow (x^3+6x-3)^2=2(3x^2+2)^2 \Rightarrow q(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$.
Ora bisognerebbe dimostrare che questo polinomio è irriducibile, e il metodo più veloce che mi viene in mente è la riduzione modulo $3$: si ottiene $x^6+1$, che si scompone in $(x^2+1)^3$, quindi se $q(x)$ si scomponesse in $ZZ[x]$ avrebbe un fattore del tipo $x^2+ax+1$ dove $a$ è un intero divisibile per $3$, e non è difficile vedere che ciò non può accadere.
Per quanto riguarda l'altro procedimento, potresti trovare il polinomio minimo di $sigma$ su $QQ$: conosci già quello su $QQ(sqrt{2})$, quindi l'unica cosa da fare è eliminare le radici di $2$ con un elevamento al quadrato:
$x^3+6x-3=sqrt{2} (3x^2+2) \Rightarrow (x^3+6x-3)^2=2(3x^2+2)^2 \Rightarrow q(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$.
Ora bisognerebbe dimostrare che questo polinomio è irriducibile, e il metodo più veloce che mi viene in mente è la riduzione modulo $3$: si ottiene $x^6+1$, che si scompone in $(x^2+1)^3$, quindi se $q(x)$ si scomponesse in $ZZ[x]$ avrebbe un fattore del tipo $x^2+ax+1$ dove $a$ è un intero divisibile per $3$, e non è difficile vedere che ciò non può accadere.
Grazie mille! Per quanto riguarda l'ultima cosa? È possibile dimostrare che $Q(sigma)=Q(sqrt(2),root(3)(3))
Ovvero sono la stessa cosa davvero o no?
Ovvero sono la stessa cosa davvero o no?
Sì: hai già dimostrato che vale un contenimento, quindi per concludere basta dimostrare che hanno lo stesso grado su $QQ$ (poi si conclude con il teorema della torre), ma
"Abbandono":mentre $sigma$ è radice di un polinomio irriducibile di sesto grado, quindi anche $QQ(sigma)$ ha grado $6$.
$ [Q(sqrt(2),root(3)(3)):Q]=6 $
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