Problema sul prodotto diretto
Sia $ G $ un gruppo e $ H,K $ due sottogruppi normali tali che $ G=H xx K $ . Sia $ N $ un sottogruppo normale di $ G $ non contenuto in $ Z(G) $ e tale che $ N \cap H = {1} $ Provare che $ N \cap K \ne {1} $
Allora... io pensavo di dimostrare che l'ordine di $ N \cap K $ è diverso da 1 ... ma non ci riesco
Dato che $ H $ e $ N $ sono normali e $ N \cap H = {1} $ allora $ |H xx N| $ divide $ |G| $ ovvero $ |H||N| $ divide $ |H||K| $ e quindi $ |N| $ divide $ |K| $. Il fatto che $ N $ non sia contenuto in $ Z(G) $ mi dice fra le altre cose che non è banale e quindi anche $ K $ non è banale. E poi non so continuare
Allora... io pensavo di dimostrare che l'ordine di $ N \cap K $ è diverso da 1 ... ma non ci riesco
Dato che $ H $ e $ N $ sono normali e $ N \cap H = {1} $ allora $ |H xx N| $ divide $ |G| $ ovvero $ |H||N| $ divide $ |H||K| $ e quindi $ |N| $ divide $ |K| $. Il fatto che $ N $ non sia contenuto in $ Z(G) $ mi dice fra le altre cose che non è banale e quindi anche $ K $ non è banale. E poi non so continuare
Risposte
Se $N$ è sottogruppo normale di $G$, allora $N sube G$.
Dunque $N$ e $H$ non sono confrontabili. Come fai a trovare $N nn H$?
Dunque $N$ e $H$ non sono confrontabili. Come fai a trovare $N nn H$?
Premetto che la traccia dell'esercizio è presa da un eserciziario di algebra ... cmq ... Se dico che $ G=H xx K $ intendo dire che \(\displaystyle G= \langle H,K \rangle \) e $ H \cap K = {1} $ ( è la definizione di prodotto diretto interno 
) , pertanto sia $ H $ che $ N $ sono sottogruppi di $ G $ , perchè mai non potrei confrontarli ? Grazie per la tua osservazione
) , pertanto sia $ H $ che $ N $ sono sottogruppi di $ G $ , perchè mai non potrei confrontarli ? Grazie per la tua osservazione
Gi8, qui [tex]H[/tex] è identificato a [tex]H \times \{1\} \leq G[/tex] e [tex]K[/tex] è identificato a [tex]\{1\} \times K \leq G[/tex].
perplesso, ti consiglio di dimostrare e usare il seguente fatto:
Fatto. Siano [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]A,B[/tex] due sottogruppi normali di [tex]G[/tex]. Se [tex]A \cap B = \{1\}[/tex] allora [tex]ab=ba[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], [tex]b \in B[/tex].
perplesso, ti consiglio di dimostrare e usare il seguente fatto:
Fatto. Siano [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]A,B[/tex] due sottogruppi normali di [tex]G[/tex]. Se [tex]A \cap B = \{1\}[/tex] allora [tex]ab=ba[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], [tex]b \in B[/tex].
"Martino":
Fatto. Siano [tex]G[/tex] un gruppo, [tex]A,B[/tex] due sottogruppi normali di [tex]G[/tex]. Se [tex]A \cap B = \{1\}[/tex] allora [tex]ab=ba[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], [tex]b \in B[/tex].
$ (aba^{-1})b^{-1}=a(ba^{-1}b^{-1}) \in A \cap B = {1} $ E fin qui ci sono. Questo mi dice che che tutti gli elementi di H sono permutabili con gli elementi di K e che tutti gli elementi di N sono permutabili con tutti gli elementi di H Ok adesso devo utilizzare l'altra informazione che ho ovvero N contiene elementi non centrali... embè? xD ci devo pensare...
OK ok ci sono. Siano $ h_1k_1 $ e $ h_2k_2 $ due elementi non permutabili di N allora $ h_2(h_1k_1)k_2 = (h_1k_1)(h_2k_2) \ne (h_2k_2)(h_1k_1) $ ovvero cancellando $ h_2 $ si ha $ (h_1k_1)k_2 \ne k_2(h_1k_1) $ e quindi non tutti gli elementi di K sono permutabili con quelli di N segue la tesi. Tutto giusto? 
Non riesco a capire quello che dici.
Semplicemente, se fosse [tex]N \cap H = N \cap K = \{1\}[/tex] allora [tex]N[/tex] commuterebbe con [tex]H[/tex] e con [tex]K[/tex], quindi commuterebbe con [tex]\langle H,K \rangle = G[/tex].
Semplicemente, se fosse [tex]N \cap H = N \cap K = \{1\}[/tex] allora [tex]N[/tex] commuterebbe con [tex]H[/tex] e con [tex]K[/tex], quindi commuterebbe con [tex]\langle H,K \rangle = G[/tex].
Ok capito allora ho sbagliato. Cmq (solo per capire bene l'errore che ho fatto) riscrivo passo passo il mio ragionamneto sbagliato.
So che ogni elemento di G (e quindi di N) si può esprimere in un unico modo come prodotto di un elemento di H e uno di K (almeno sul mio libro è scritto così). Poi so che N non è contenuto in Z(G) e quindi ho pensato che dovesse contenere due elementi che non permutano fra loro e li ho chiamati $ h_1k_1 $ e $ h_2k_2 $ . Quindi suppongo che $ (h_1k_1)(h_2k_2) \ne (h_2k_2)(h_1k_1) $ . Ma $ h_1k_1 \in N $ e $ h_2 \in H $ permutano e quindi $ (h_1k_1)(h_2k_2) = h_2(h_1k_1)k_2 $ e quindi $ h_2(h_1k_1)k_2 \ne (h_2k_2)(h_1k_1) $ da qui cancello $ h_2 $ e viene $ (h_1k_1)k_2 \ne k_2(h_1k_1) $ ovvero $ k_2 \ne 1 $
Chiedo scusa se vi sto tediando...
So che ogni elemento di G (e quindi di N) si può esprimere in un unico modo come prodotto di un elemento di H e uno di K (almeno sul mio libro è scritto così). Poi so che N non è contenuto in Z(G) e quindi ho pensato che dovesse contenere due elementi che non permutano fra loro e li ho chiamati $ h_1k_1 $ e $ h_2k_2 $ . Quindi suppongo che $ (h_1k_1)(h_2k_2) \ne (h_2k_2)(h_1k_1) $ . Ma $ h_1k_1 \in N $ e $ h_2 \in H $ permutano e quindi $ (h_1k_1)(h_2k_2) = h_2(h_1k_1)k_2 $ e quindi $ h_2(h_1k_1)k_2 \ne (h_2k_2)(h_1k_1) $ da qui cancello $ h_2 $ e viene $ (h_1k_1)k_2 \ne k_2(h_1k_1) $ ovvero $ k_2 \ne 1 $
Chiedo scusa se vi sto tediando...
"perplesso":Stai confondendo la nozione di "sottogruppo centrale" con quella di "sottogruppo abeliano".
Poi so che N non è contenuto in Z(G) e quindi ho pensato che dovesse contenere due elementi che non permutano fra loro
Un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] si dice:
abeliano se [tex]h_1h_2 = h_2h_1[/tex] per ogni [tex]h_1,h_2 \in H[/tex],
centrale se [tex]H \subseteq Z(G)[/tex], cioè se [tex]hg=gh[/tex] per ogni [tex]h \in H[/tex], [tex]g \in G[/tex].
Come vedi la prima è una nozione intrinseca (non dipende da [tex]G[/tex]), a differenza della seconda.
Se un sottogruppo è centrale allora è abeliano, ma non vale il viceversa: per esempio [tex]\langle (123) \rangle[/tex] è un sottogruppo abeliano ma non centrale di [tex]S_3[/tex].
Grazie, ora mi è tutto chiaro.
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