Problema sul calcolo combinatorio
Salve ho questo problema di calcolo combinatorio, e non riesco a capire la traccia . Qualcuno mi sa mettere sulla buona strada?
Sei persone sono disposte in fila e ciascuna di essa ottiene un punteggio lanciando due dadi. Abbastanza sorprendentemente, i punteggi ottenuti sono tutti numeri pari, e ciascuna persona ha conseguito un punteggio distinto da quelli dei suoi (o del suo) vicino. Si chiede:
(1) quanti sono i possibili modi in cui potrebbero essere distribuiti i punteggi in modo da avere le caratteristiche descritte?
(2) Quanti fra tali modi non hanno affatto punteggi ripetuti?
Sei persone sono disposte in fila e ciascuna di essa ottiene un punteggio lanciando due dadi. Abbastanza sorprendentemente, i punteggi ottenuti sono tutti numeri pari, e ciascuna persona ha conseguito un punteggio distinto da quelli dei suoi (o del suo) vicino. Si chiede:
(1) quanti sono i possibili modi in cui potrebbero essere distribuiti i punteggi in modo da avere le caratteristiche descritte?
(2) Quanti fra tali modi non hanno affatto punteggi ripetuti?
Risposte
Ciao bananino84 
(1) Puoi iniziare intanto cercando di capire quante sono le coppie di numeri che ti forniscono un punteggio pari una volta lanciati i due dadi. Suggerimento: scrivi a mano le prime $12$ (ad esempio) coppie di punteggi che possono uscire lanciando i due dadi e poi capisci subito quante sono.
Poi scegli un giocatore (ad esempio il primo da sinistra) e supponi che abbia ottenuto la coppia di punti $(x, y)$ (tale che $x + y$ è un numero pari) lanciando i due dadi. Ora passi al giocatore numero $2$, quello subito dopo di lui e pensa quante tra le possibili coppie di punteggi che può ottenere rispettano il vincolo di non essere uguale al punteggio del giocatore precedente. Poi procedi così fino al sesto giocatore;
(2) Procedi come in (1) stando però più attento ad escludere le coppie di volta in volta poiché il vincolo di ripetizione qui è più forte (non è che sia molto complesso rispetto al punto precedente comunque).
Spero di esserti stato d'aiuto.
(1) Puoi iniziare intanto cercando di capire quante sono le coppie di numeri che ti forniscono un punteggio pari una volta lanciati i due dadi. Suggerimento: scrivi a mano le prime $12$ (ad esempio) coppie di punteggi che possono uscire lanciando i due dadi e poi capisci subito quante sono.
Poi scegli un giocatore (ad esempio il primo da sinistra) e supponi che abbia ottenuto la coppia di punti $(x, y)$ (tale che $x + y$ è un numero pari) lanciando i due dadi. Ora passi al giocatore numero $2$, quello subito dopo di lui e pensa quante tra le possibili coppie di punteggi che può ottenere rispettano il vincolo di non essere uguale al punteggio del giocatore precedente. Poi procedi così fino al sesto giocatore;
(2) Procedi come in (1) stando però più attento ad escludere le coppie di volta in volta poiché il vincolo di ripetizione qui è più forte (non è che sia molto complesso rispetto al punto precedente comunque).
Spero di esserti stato d'aiuto.
i possibili punteggi sono 6: 2,4,6,8,10,12.
6 posizioni, 6 possibilità: la seconda domanda dovrebbe essere banale;
per quanto riguarda la prima, ti consiglierei di considerare le 6 persone in fila, e di seguire un ordine: quante sono le possibilità di scelta (del punteggio) per la prima? quante per la seconda?...quante per la sesta?
ciao. facci sapere.
EDIT: mi sono appena accorta che ti stava rispondendo anche qualcun altro, ma lascio comunque l'indicazione.
6 posizioni, 6 possibilità: la seconda domanda dovrebbe essere banale;
per quanto riguarda la prima, ti consiglierei di considerare le 6 persone in fila, e di seguire un ordine: quante sono le possibilità di scelta (del punteggio) per la prima? quante per la seconda?...quante per la sesta?
ciao. facci sapere.
EDIT: mi sono appena accorta che ti stava rispondendo anche qualcun altro, ma lascio comunque l'indicazione.
vediamo un pò se ho capito:
per il primo punto ho 6 possibilità di scelta , siccome c'è un ordine e i risultati non si ripetono posso dire che
$6! = 720 $
per il secondo punto $((6),( 6)) = 1$ possibilità.
Giusto?
per il primo punto ho 6 possibilità di scelta , siccome c'è un ordine e i risultati non si ripetono posso dire che
$6! = 720 $
per il secondo punto $((6),( 6)) = 1$ possibilità.
Giusto?
no, 6! vale per il secondo punto...
"adaBTTLS":
no, 6! vale per il secondo punto...
Allora mi sa che ancora non mi è chiara la traccia... queste tracce bisogna leggere e rileggerle per capire. Non so allora come andare avanti
Provo ad esporre il modo in cui ho ragionato io:
Per il punto 1: mi si chiede in quanti modi possibili posso combinare insieme i numeri 2 4 6 8 10 12 (6 elementi) in modo che ad ogni combinazione scelta non ci siano 2 numeri uguali vicini quindi procedo così:
- il primo numero lo posso scegliere tra 6 possibili
- per il secondo ho 5 possibilità di scelta
- per il terzo ne ho di nuovo 5 perchè posso scegliere anche il numero che ho scelto in prima posizione
- stessa cosa per i numeri in posizione 4, 5 e 6
per esempio posso avere la situazione in cui
quindi rispondendo al punto 1 dovrei poter avere $6*5^5$ possibili scelte
Per il punto 2 dell'esercizio invece, visto che non devo avere punteggi ripetuti il numero delle combinazioni è $6!$
che ne pensate?
Per il punto 1: mi si chiede in quanti modi possibili posso combinare insieme i numeri 2 4 6 8 10 12 (6 elementi) in modo che ad ogni combinazione scelta non ci siano 2 numeri uguali vicini quindi procedo così:
- il primo numero lo posso scegliere tra 6 possibili
- per il secondo ho 5 possibilità di scelta
- per il terzo ne ho di nuovo 5 perchè posso scegliere anche il numero che ho scelto in prima posizione
- stessa cosa per i numeri in posizione 4, 5 e 6
per esempio posso avere la situazione in cui
| 1a pos | 2a pos | 3a pos | 4a pos | 5a pos | 6a pos |
|---|
quindi rispondendo al punto 1 dovrei poter avere $6*5^5$ possibili scelte
Per il punto 2 dell'esercizio invece, visto che non devo avere punteggi ripetuti il numero delle combinazioni è $6!$
che ne pensate?
Io ho ragionato come te, duombo, ed ottenuto i medesimi risultati 
.
.
anche per me il ragionamento è lo stesso.
banino84, se tu parlavi di una possibilità per il secondo punto, pensavi al fatto che dovevano necessariamente uscire una volta ciascuno i numeri 2,4,6,8,10,12, ma questo è l'insieme dei possibili risultati, dove non è importante l'ordine, per cui si usano i coefficienti binomiali. ma se è importante l'ordine? avendo un alfabeto di 6 lettere, quante parole di sei lettere non ripetute puoi scrivere? appunto 6!
per il caso 1, non mi ripeto: facci sapere se lo schema di duombo ti è chiaro.
banino84, se tu parlavi di una possibilità per il secondo punto, pensavi al fatto che dovevano necessariamente uscire una volta ciascuno i numeri 2,4,6,8,10,12, ma questo è l'insieme dei possibili risultati, dove non è importante l'ordine, per cui si usano i coefficienti binomiali. ma se è importante l'ordine? avendo un alfabeto di 6 lettere, quante parole di sei lettere non ripetute puoi scrivere? appunto 6!
per il caso 1, non mi ripeto: facci sapere se lo schema di duombo ti è chiaro.
"adaBTTLS":
anche per me il ragionamento è lo stesso.
banino84, se tu parlavi di una possibilità per il secondo punto, pensavi al fatto che dovevano necessariamente uscire una volta ciascuno i numeri 2,4,6,8,10,12, ma questo è l'insieme dei possibili risultati, dove non è importante l'ordine, per cui si usano i coefficienti binomiali. ma se è importante l'ordine? avendo un alfabeto di 6 lettere, quante parole di sei lettere non ripetute puoi scrivere? appunto 6!
per il caso 1, non mi ripeto: facci sapere se lo schema di duombo ti è chiaro.
sisi adesso è tutto chiaro. La traccia con l'esempio di dumbo mi è stata chiara, infatti prima confondevo molte cose. Grazie a tutti voi per la mano
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