Problema suigruppi dall'herstein

[ale.b14]

Sia $G$ un gruppo tale che l'intersezione di tutti i suoi sottogruppi diversi da $(id)$ è un sottogruppo di $G$ diverso da $(id)$.
Dimostrare che ogni elemento di $G$ ha ordine finito.

E' qualche giorno che ci sbatto la testa, ma non riesco a scalfirlo... Mi accontento di qualche suggerimento o hint! Vi ringrazio!

[Pappappero1]

Non vorrei dire fesserie, ma dovrebbe essere chiaro che su $\ZZ$ quella proprietà non vale: infatti l'intersezione di tutti i sottogruppi non banali di $\ZZ$ è banale.

Supponi quindi di avere un elemento di ordine infinito e...

[perplesso1]

Sia $ x \ne 1 $ un elemento dell'intersezione allora per ogni $ y \in G $ con $ y \ne 1 $ si ha $ x \in $ , in particolare $ x \in $ e quindi $ x= x^{2n} $ per qualche intero positivo $ n $. Allora $ x^{2n-1}=1 $ e $ $ ha ordine finito e risulta $ \subset $ per ogni $ y \ne 1 $. Ricordando un gruppo ciclico infinito non ha sottogruppi finiti, concludiamo che anche $ $ è finito. E siccome abbiamo scelto $ y $ arbitrariamente, tutti gli elementi di $ G $ hanno ordine finito. Se ho sbagliato qualche cosa fammelo notare.

Ciao.

[ale.b14]

Sì sì!! torna tutto! Grazie mille!

@Pappappero: per assurdo riesci a concludere?? io ci avevo provato e mi sembrava un vicolo cieco!

[Pappappero1]

Prendi il ciclico generato dall'elemento di ordine infinito. Quella è una copia di $\ZZ$ e tutti i suoi sottogruppi sono sottogruppi del gruppo grande e quindi anche loro vengono intersecati.