Problema sui gruppi
Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $i $consecutivi per ogni coppia di elementi $a,b in G$, allora $G$ è abeliano.
La conclusione non vale invece se la relazione $(ab)^i=a^ib^i$ sussiste solo per due interi $i$ consecutivi.
Qualcuno mi può aiutare per partire
La conclusione non vale invece se la relazione $(ab)^i=a^ib^i$ sussiste solo per due interi $i$ consecutivi.
Qualcuno mi può aiutare per partire
Risposte
Mi scuso, ma ho un dubbio:
se prendo in considerazione il gruppo abeliano $G$ formato dalle rotazioni di $0°,90°,180°,270°$ di un quadrato rispetto al suo centro di simmetria (si verifica facilmente che si tratta di un gruppo abeliano)
come faccio a dire che dato $(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi allora $G$ è abeliano?
In pratica cosa dovrei verificare?
$(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi cioè per esempio
$(ab)^3=a^3b^3$, $(ab)^4=a^4b^4$, $(ab)^5=a^5b^5$
E come arrivare a dire che invece se $( ab)^i=a^ib^i$ per 2 $i$ interi consecutivi allora un gruppo qualsiasi non è abeliano.
se prendo in considerazione il gruppo abeliano $G$ formato dalle rotazioni di $0°,90°,180°,270°$ di un quadrato rispetto al suo centro di simmetria (si verifica facilmente che si tratta di un gruppo abeliano)
come faccio a dire che dato $(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi allora $G$ è abeliano?
In pratica cosa dovrei verificare?
$(ab)^i=a^ib^i$ per tre $i$ interi consecutivi cioè per esempio
$(ab)^3=a^3b^3$, $(ab)^4=a^4b^4$, $(ab)^5=a^5b^5$
E come arrivare a dire che invece se $( ab)^i=a^ib^i$ per 2 $i$ interi consecutivi allora un gruppo qualsiasi non è abeliano.
"marcus112":Se [tex]G[/tex] è un gruppo non abeliano e finito di ordine [tex]n[/tex] allora dati [tex]a,b \in G[/tex] si ha [tex](ab)^n = 1 = a^n b^n[/tex] e [tex](ab)^{n+1} = ab = a^{n+1} b^{n+1}[/tex]. Quindi due interi consecutivi non bastano per forzare l'abelianità.
E come arrivare a dire che invece se $( ab)^i=a^ib^i$ per 2 $i$ interi consecutivi allora un gruppo qualsiasi non è abeliano.
Non ho capito l'altra domanda.
Sto cercando di raggruppare i vari problemi…..che sembrano simili, per provare ad eliminare i dubbi!
Spero di farmi capire!
$1)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.
$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)$
$(a^(−n)b^(−n))(a^(−n))^(−1)(b^(−n))^(−1)=a^(−n)((b^(−n)(b^(−n))^(−1))(a^(−n))^(−1))=a^(−n)(e)(a^(−n))^(−1))=e$
e quindi per definizione di inverso
$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)=a^nb^n$
Va bene così ?
Nota: in questo caso non si può attraverso la proprietà $(ab)^n=a^nb^n$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
Oppure:
per ogni$ n≥2$ vale $a^nb^n=a(a^(n^−1)b)b^(n−1)=(ab)a^(n−1)b^(n−1) $
Quindi $(ab)a^(n−1)b^(n−1)=(ab)^n->(ab)^(n-1)= a^(n−1)b^(n−1)$
$2)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^2=a^2b^2$
Si ha $(ab)^2 = abab$ e $a^2b^2 = aabb$. Poichè per ipotesi $(ab)^2 = a^2b^2$,
segue $abab = aabb$ da cui $a^(-1)(abab)*b^(-1)=a^(-1)(aabb)^(-1)$ e pertanto $ba = ab$ per ogni $a, b in G$.
Facendo così ho fatto vedere che nel gruppo vale la proprietà commutativa.
Nota: in questo caso si può attraverso la proprietà $(ab)^2=a^2b^2$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè si ottiene l’abelianità.
Ma mi chiedo: se dimostro che in un gruppo abeliano vale $(ab)^n=a^nb^n$ non dimostro implicitamente che questa proprietà vale per ogni $n$ e quindi anche per $n=2,n=3…$?
$3)$ Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $ i$ consecutivi e per ogni coppia di elementi $a, b in G$ allora $G$ è abeliano.
Se poniamo $(ab)^i=P$ la conclusione segue da
$ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P$ .Cancellando troviamo $ab=ba$.
Anche questa dimostrazione si basa esclusivamente sul fatto di far vedere che il gruppo gode della proprietà commutativa?
Se io scrivessi $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ oppure $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, per due interi consecutivi, non arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
mentre con $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ , $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$ e infine con $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: $ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P $.Cancellando troviamo $ab=ba$,
Ho fatto questo discorso per vedere se ho compreso cosa si intendeva per $3$ interi consecutivi.
Conclusione:
l’abelianità di un gruppo allora dalle precedenti proprietà , naturalmente dimostrandola, si può ottenere solo da $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$ intendendo per tre interi consecutivi solo $n,n+1,n+2$
oppure da $(ab)^2=a^2b^2$?
Grazie per l’aiuto.
Spero di farmi capire!
$1)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.
$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)$
$(a^(−n)b^(−n))(a^(−n))^(−1)(b^(−n))^(−1)=a^(−n)((b^(−n)(b^(−n))^(−1))(a^(−n))^(−1))=a^(−n)(e)(a^(−n))^(−1))=e$
e quindi per definizione di inverso
$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)=a^nb^n$
Va bene così ?
Nota: in questo caso non si può attraverso la proprietà $(ab)^n=a^nb^n$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
Oppure:
per ogni$ n≥2$ vale $a^nb^n=a(a^(n^−1)b)b^(n−1)=(ab)a^(n−1)b^(n−1) $
Quindi $(ab)a^(n−1)b^(n−1)=(ab)^n->(ab)^(n-1)= a^(n−1)b^(n−1)$
$2)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^2=a^2b^2$
Si ha $(ab)^2 = abab$ e $a^2b^2 = aabb$. Poichè per ipotesi $(ab)^2 = a^2b^2$,
segue $abab = aabb$ da cui $a^(-1)(abab)*b^(-1)=a^(-1)(aabb)^(-1)$ e pertanto $ba = ab$ per ogni $a, b in G$.
Facendo così ho fatto vedere che nel gruppo vale la proprietà commutativa.
Nota: in questo caso si può attraverso la proprietà $(ab)^2=a^2b^2$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè si ottiene l’abelianità.
Ma mi chiedo: se dimostro che in un gruppo abeliano vale $(ab)^n=a^nb^n$ non dimostro implicitamente che questa proprietà vale per ogni $n$ e quindi anche per $n=2,n=3…$?
$3)$ Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $ i$ consecutivi e per ogni coppia di elementi $a, b in G$ allora $G$ è abeliano.
Se poniamo $(ab)^i=P$ la conclusione segue da
$ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P$ .Cancellando troviamo $ab=ba$.
Anche questa dimostrazione si basa esclusivamente sul fatto di far vedere che il gruppo gode della proprietà commutativa?
Se io scrivessi $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ oppure $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, per due interi consecutivi, non arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
mentre con $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ , $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$ e infine con $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: $ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P $.Cancellando troviamo $ab=ba$,
Ho fatto questo discorso per vedere se ho compreso cosa si intendeva per $3$ interi consecutivi.
Conclusione:
l’abelianità di un gruppo allora dalle precedenti proprietà , naturalmente dimostrandola, si può ottenere solo da $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$ intendendo per tre interi consecutivi solo $n,n+1,n+2$
oppure da $(ab)^2=a^2b^2$?
Grazie per l’aiuto.
Non capisco quasi niente di quello che dici, purtroppo.
"marcus112":Come dimostri questo?
$1)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.
$(ab)^n=(a^(−n)b^(−n))^(−1)$
Oppure:L'idea è giusta ma è scritta male. Te l'avevano scritta giusta in un altro post di risposta.
per ogni$ n≥2$ vale $a^nb^n=a(a^(n^−1)b)b^(n−1)=(ab)a^(n−1)b^(n−1) $
Quindi $(ab)a^(n−1)b^(n−1)=(ab)^n->(ab)^(n-1)= a^(n−1)b^(n−1)$
$2)$ Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^2=a^2b^2$Questo è giusto, ma hai dimostrato il contrario di quello che dovevi dimostrare. Hai dimostrato che se [tex](ab)^2 = a^2b^2[/tex] per ogni [tex]a,b \in G[/tex] allora [tex]G[/tex] è abeliano, mentre dovevi dimostrare il viceversa.
Si ha $(ab)^2 = abab$ e $a^2b^2 = aabb$. Poichè per ipotesi $(ab)^2 = a^2b^2$,
segue [tex]abab = aabb[/tex] da cui [tex]a^{-1}(abab) \cdot b^{-1} = a^{-1} (aabb)^{-1}[/tex] e pertanto $ba = ab$ per ogni $a, b in G$.
Facendo così ho fatto vedere che nel gruppo vale la proprietà commutativa.
Nota: in questo caso si può attraverso la proprietà $(ab)^2=a^2b^2$ dimostrare la proprietà commutativa: cioè si ottiene l’abelianità.Non capisco la domanda. Se lo dimostri per ogni n allora lo dimostri per ogni n, certo.
Ma mi chiedo: se dimostro che in un gruppo abeliano vale $(ab)^n=a^nb^n$ non dimostro implicitamente che questa proprietà vale per ogni $n$ e quindi anche per $n=2,n=3…$?
$3)$ Se $G$ è un gruppo nel quale $(ab)^i=a^ib^i$ per tre interi $ i$ consecutivi e per ogni coppia di elementi $a, b in G$ allora $G$ è abeliano.Non so se capisco, comunque il punto è che i tre interi consecutivi sono generici, n, n+1 e n+2, non sono 2,3,4, né 14,15,16, si sa solo che esistono, che hanno quella proprietà e non si sa altro. Non so se ho chiarito i dubbi.
Se poniamo $(ab)^i=P$ la conclusione segue da
$ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P$ .Cancellando troviamo $ab=ba$.
Anche questa dimostrazione si basa esclusivamente sul fatto di far vedere che il gruppo gode della proprietà commutativa?
Se io scrivessi $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ oppure $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$, per due interi consecutivi, non arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: cioè non si può forzare l’abelianità.
mentre con $(ab)^(i)=a^(i)b^(i)$ , $(ab)^(i+1)=a^(i+1)b^(i+1)$ e infine con $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$,
arrivo a dimostrare che il gruppo gode della proprietà commutativa: $ababP=(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)=a^2a^ib^ib^2=a^2Pb^2=a^2b^2P $.Cancellando troviamo $ab=ba$,
Ho fatto questo discorso per vedere se ho compreso cosa si intendeva per $3$ interi consecutivi.
Conclusione:
l’abelianità di un gruppo allora dalle precedenti proprietà , naturalmente dimostrandola, si può ottenere solo da $(ab)^(i+2)=a^(i+2)b^(i+2)$ intendendo per tre interi consecutivi solo $n,n+1,n+2$
oppure da $(ab)^2=a^2b^2$?
Grazie per l’aiuto.
Ci provo ancora…
$(2)$ Cominciamo dalla tua osservazione riguardante il punto due:
ho dimostrato il contrario, perché dovevo dimostrare questo:
se $G$ è un gruppo tale che $(ab)^2=a^2b^2$ per ogni $a,b in G$, allora $G$ è abeliano.
A questo punto penso che la dimostrazione già fatta è giusta.
$(1)$ Per il problema $(ab)^n=a^nb^n$ provo per induzione:
posto che sia vero ovviamente per $n=1$ proviamo per $n+1$: $(ab)^(n+1)=(ab)^n(ab)=a^nb^nab=(a^na)(b^nb)=a^(n+1)b^(n+1)$
Se poi vogliamo verificarlo anche per $n<0$:
$(ab)^-n=((ab)^n)^(-1)=(a^nb^n)^(-1)=a^(-n)b^(-n)$
$(3)$ Hai centrato quello che volevo dire: all’inizio pensavo che i $3$ numeri consecutivi potevano essere
per esempio $1,2,3$ poi ho capito che la dimostrazione si basa su $n,n+1,n+2$ e più precisamente l’abelianità si forza con $ n+2$
La mia confusione ancora presente deriva dal fatto che se in un gruppo $(ab)^2=a^2b^2$, quindi $n=2$, il gruppo è abeliano… perché devo pensare ai tre interi consecutivi ?
$(2)$ Cominciamo dalla tua osservazione riguardante il punto due:
ho dimostrato il contrario, perché dovevo dimostrare questo:
se $G$ è un gruppo tale che $(ab)^2=a^2b^2$ per ogni $a,b in G$, allora $G$ è abeliano.
A questo punto penso che la dimostrazione già fatta è giusta.
$(1)$ Per il problema $(ab)^n=a^nb^n$ provo per induzione:
posto che sia vero ovviamente per $n=1$ proviamo per $n+1$: $(ab)^(n+1)=(ab)^n(ab)=a^nb^nab=(a^na)(b^nb)=a^(n+1)b^(n+1)$
Se poi vogliamo verificarlo anche per $n<0$:
$(ab)^-n=((ab)^n)^(-1)=(a^nb^n)^(-1)=a^(-n)b^(-n)$
$(3)$ Hai centrato quello che volevo dire: all’inizio pensavo che i $3$ numeri consecutivi potevano essere
per esempio $1,2,3$ poi ho capito che la dimostrazione si basa su $n,n+1,n+2$ e più precisamente l’abelianità si forza con $ n+2$
La mia confusione ancora presente deriva dal fatto che se in un gruppo $(ab)^2=a^2b^2$, quindi $n=2$, il gruppo è abeliano… perché devo pensare ai tre interi consecutivi ?
"marcus112":Prova a dimostrare a mano il seguente fatto (vero): se in un gruppo vale [tex](ab)^{14} = a^{14}b^{14}[/tex], [tex](ab)^{15} = a^{15}b^{15}[/tex] e [tex](ab)^{16} = a^{16} b^{16}[/tex] per ogni [tex]a,b[/tex] allora il gruppo è commutativo.
La mia confusione ancora presente deriva dal fatto che se in un gruppo $(ab)^2=a^2b^2$, quindi $n=2$, il gruppo è abeliano… perché devo pensare ai tre interi consecutivi ?
Scusami Martino….ma voglio eliminare ogni dubbio: quando dici giustamente
prova a dimostrare a mano il seguente fatto (vero): se in un gruppo vale $(ab)^14=a^14b^14, (ab)^15=a^15b^15 e (ab)^16=a^16b^16$ per ogni $a,b$ allora il gruppo è commutativo, intendi che la cosa oltre ad essere noiosa se il gruppo è infinito risulta impossibile dimostrare che esso è commutativo….per cui si deve per forza procedere con $n,n+1,(n+1)+1=n+2$.
Osservazione: con un gruppo finito per esempio di $4$ elementi ci si riuscirebbe anche, ma la cosa ha comunque algebricamente poco senso.
prova a dimostrare a mano il seguente fatto (vero): se in un gruppo vale $(ab)^14=a^14b^14, (ab)^15=a^15b^15 e (ab)^16=a^16b^16$ per ogni $a,b$ allora il gruppo è commutativo, intendi che la cosa oltre ad essere noiosa se il gruppo è infinito risulta impossibile dimostrare che esso è commutativo….per cui si deve per forza procedere con $n,n+1,(n+1)+1=n+2$.
Osservazione: con un gruppo finito per esempio di $4$ elementi ci si riuscirebbe anche, ma la cosa ha comunque algebricamente poco senso.
Non capisco cosa dici.
Il fatto che se quella proprietà vale per tre interi consecutivi allora il gruppo è abeliano vale indipendentemente da quali sono i tre interi consecutivi e indipendentemente dalla finitezza di G (che può anche essere infinito). Vale per tutte le terne di interi consecutivi, quindi non solo per 1, 2, 3 e 2, 3, 4, anche per 14, 15, 16 (come dicevo) e anche per 632, 633, 634. Non ho detto che è noiosa, cerco di farti capire che se i tre interi consecutivi sono 2,3,4 allora è facile da dimostrare che G è commutativo, ma se sono 14,15,16 è meno facile.
Il fatto che se quella proprietà vale per tre interi consecutivi allora il gruppo è abeliano vale indipendentemente da quali sono i tre interi consecutivi e indipendentemente dalla finitezza di G (che può anche essere infinito). Vale per tutte le terne di interi consecutivi, quindi non solo per 1, 2, 3 e 2, 3, 4, anche per 14, 15, 16 (come dicevo) e anche per 632, 633, 634. Non ho detto che è noiosa, cerco di farti capire che se i tre interi consecutivi sono 2,3,4 allora è facile da dimostrare che G è commutativo, ma se sono 14,15,16 è meno facile.
Scusami ancora Martino...sto cercando di capire!
Se i tre interi consecutivi sono $2,3,4$ allora è facile da dimostrare che G è commutativo, ma se sono $14,15,16$ è meno facile.
Intuitivamente penso di aver capito... ma mi occorre capire, come procedere, per dimostrare che il gruppo è abeliano se invece di $n,n+1,n+2$ tentassi di farlo con $14,15,16$
Grazie sempre per i suggerimenti
Se i tre interi consecutivi sono $2,3,4$ allora è facile da dimostrare che G è commutativo, ma se sono $14,15,16$ è meno facile.
Intuitivamente penso di aver capito... ma mi occorre capire, come procedere, per dimostrare che il gruppo è abeliano se invece di $n,n+1,n+2$ tentassi di farlo con $14,15,16$
Grazie sempre per i suggerimenti
L'unico modo che conosco è procedere come per [tex]n,n+1,n+2[/tex] ma lavorando nel caso particolare [tex]n=14[/tex].
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