Problema sugli ideali
Buon giorno a tutti,
ho questi due ideali in $Z[x]$
$I = (x-2,13)$
e
$I = (x^2+3,7)$
devo dire se sono primi, massimali.
Se non sono massimali trovare gli ideali che li contengono.
Il punto è che non riesco a leggere quel tipo di ideale. Devo leggerlo come un ideale composto da due elementi?
Cominciando dal 1°(se interpreto bene la scrittura dell'ideale) noto che $x-2$ è irriducibile in $Z[x]$ e che $13$ è non invertibile in $Z[x]$ e quindi $I =(x-2,13)$ è massimale e primo.
Per il 2° ideale noto che $x^2+3$ non ha fattori di grado 1 in $Z[x]$ non avendo zeri in $Z[x]$, quindi è primo, ed anche $7$ è primo non essendo invertibile è anche irriducibile in $Z[x]$ deduco che anche il 2° ideale è primo ed anche massimale.
E' corretto il modo in cui interpreto i due ideali?
Grazie
ho questi due ideali in $Z[x]$
$I = (x-2,13)$
e
$I = (x^2+3,7)$
devo dire se sono primi, massimali.
Se non sono massimali trovare gli ideali che li contengono.
Il punto è che non riesco a leggere quel tipo di ideale. Devo leggerlo come un ideale composto da due elementi?
Cominciando dal 1°(se interpreto bene la scrittura dell'ideale) noto che $x-2$ è irriducibile in $Z[x]$ e che $13$ è non invertibile in $Z[x]$ e quindi $I =(x-2,13)$ è massimale e primo.
Per il 2° ideale noto che $x^2+3$ non ha fattori di grado 1 in $Z[x]$ non avendo zeri in $Z[x]$, quindi è primo, ed anche $7$ è primo non essendo invertibile è anche irriducibile in $Z[x]$ deduco che anche il 2° ideale è primo ed anche massimale.
E' corretto il modo in cui interpreto i due ideali?
Grazie
Risposte
Vale una cosa generale. I tuoi ideali puoi leggerli come $ZZ_(13)[X]//(f)$ e $ZZ_7[X]//(g)$ dove $f,g$ sono i tuoi polinomi rispettivamente. E quindi ti sei ricondotto ad un ideale dei polinomi a coefficienti in un campo e li puoi trattare come tali, che certamente è più semplice!
"mistake89":
Vale una cosa generale. I tuoi ideali puoi leggerli come $ZZ_(13)[X]//(f)$ e $ZZ_7[X]//(g)$ dove $f,g$ sono i tuoi polinomi rispettivamente. E quindi ti sei ricondotto ad un ideale dei polinomi a coefficienti in un campo e li puoi trattare come tali, che certamente è più semplice!
Grazie
(hai da postarmi qualche link alla teoria?)
Essendo $Z_13$ e $Z_7$ un dominio ed anche un campo, allora per esempio il polinomio $x^2 +7$ è riducibile essendo $2$ una sua radice e quindi $x+2$ un suo fattore.
E quindi non è primo.
Invece $I=(x-2,13)$
Dovrebbe essere cmq primo essendo il polinomio di primo grado, e quindi è massimale.
Grazie
Purtroppo non ho sottomano nulla. Bisogna costruire un omomorfismo tra i due anelli e far vedere che è biettivo. Se ho un po' di tempo stasera provo a ritrovarlo sui miei appunti.
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