Problema sistema di congruenze lineari

[deliabeatles]

Salve a tutti,
non riesco a risolvere questo sistema di congruenze fino a trovare la soluzione, perchè mi blocco a un certo punto.

La richiesta è:

trovare i valori di a (interi) per i quali il sistema ammetta soluzioni
\begin{eqnarray}
x = 1 \ (mod 6) \\
x = 2 \ (mod 7) \\
x = a \ (mod 8)
\end{eqnarray}
Grazie a chi mi aiuterà

[vict85]

Il regolamento richiede un tentativo di risoluzione da parte tua o almeno qualche ragionamento e qualche passaggio. Il forum non serve per risolvere esercizi ma può essere usato per aiutarti a farli.

[deliabeatles]

Scusate, non riesco ad andare avanti oltre un certo punto. Vi mostro come ho ragionato.

Allora, per trovare i valori di a inizio innanzitutto a risolvere, tramite sostituzione, le prime due equazioni.
Ottengo:
1 + m6 = 2 + n7 , da cui trovo la diofantea m6 - n7 = 1 e i valori m=-1, n=-1.
Allora tutte le soluzioni delle prime due equazioni sono x = -5 + t42.

A questo punto metto a sistema questa equazione con la terza del sistema:
-5 + t42 = a + f8 => t42 - f8 = a + 5

osservo che questa diofantea deve avere soluzioni se e solo se il MCD(42,8) = 2 divide a + 5,
cioè a + 5 = 2e.
Quindi a = 2e - 5, quindi a = 2(e -2) + 1, il che significa che per qualsiasi valore di e, a sarà sempre dispari.

Per trovare i valori di a ed e provo a risolvere l'equazione a - 2e = -5 => 2e - a = 5,
che ha soluzioni se e solo se il MCD(2,a)=(2b+1) (cioè un numero dispari) divide 5, il che significa che 5 = (2b + 1)c...

......ma non riesco a proseguire oltre, perchè non so trovare le soluzioni di quest'equazione e sicuramente il mio non è il ragionamento corretto... In cosa sbaglio? Come devo procedere? Grazie

[Jack2331]

"deliabeatles":Scusate, non riesco ad andare avanti oltre un certo punto. Vi mostro come ho ragionato.

Allora, per trovare i valori di a inizio innanzitutto a risolvere, tramite sostituzione, le prime due equazioni.
Ottengo:
1 + m6 = 2 + n7 , da cui trovo la diofantea m6 - n7 = 1 e i valori m=-1, n=-1.
Allora tutte le soluzioni delle prime due equazioni sono x = -5 + t42.

A questo punto metto a sistema questa equazione con la terza del sistema:
-5 + t42 = a + f8 => t42 - f8 = a + 5

osservo che questa diofantea deve avere soluzioni se e solo se il MCD(42,8) = 2 divide a + 5,
cioè a + 5 = 2e.
Quindi a = 2e - 5, quindi a = 2(e -2) + 1, il che significa che per qualsiasi valore di e, a sarà sempre dispari.

Fino a qui ci siamo, hai provato che il sistema ha soluzione se e solo se $a$ è dispari (perché se $a$ è dispari allora $MCD(42,8)=2$ dividerà $a+5$, che è pari, e quindi la diofantea ha soluzione e puoi ricavare tutto...)

Non devi più andare avanti, credo.
Nota che il problema ti chiedeva per quali $a$ il sistema ha soluzione...in questo caso provata l'esistenza non devi ricavarle...ok?

[deliabeatles]

Ah infatti, che sbadata! Avevo dimenticato che dovevo trovare solo i valori di a per i quali il sistema ammettesse soluzioni, ma non le soluzioni.
Grazie mille