Problema riguardante $NN$
Mi stavo chiedendo com'è possibile che, nonostante $ (NN,+,\cdot ) $ non sia neppure un anello (e di conseguenza non è né U.F.D. né E.D.), in esso vale l'algoritmo della divisione, l'esistenza di un M.C.D. per ogni coppia di elementi e la fattorizzazione unica...
Inoltre, come riporta il mio libro, per definire $ M.C.D.(a,b) $ in $ ZZ $ si pone $ a>0 $ e $ b>0 $ ... in questo modo non ci si restringe solo a $ NN $ !?
Grazie in anticipo per l'aiuto...
Inoltre, come riporta il mio libro, per definire $ M.C.D.(a,b) $ in $ ZZ $ si pone $ a>0 $ e $ b>0 $ ... in questo modo non ci si restringe solo a $ NN $ !?
Grazie in anticipo per l'aiuto...
Risposte
Scusa, ma l'enunziato del teorema dell'algoritmo della divisione euclidea si basa in qualche maniera sulla struttura di gruppo? 
Una mia curiosità: che vuol dire E.D.?
Una mia curiosità: che vuol dire E.D.?
E.D. sta per dominio euclideo e l'algoritmo della divisione vale esclusivamente in questo tipo di domini... per questo mi sono sorti quei dubbi su $ NN $ che non è neppure anello...
"Pierlu11":NO: se un dominio verifica l'algoritmo della divisione euclidea allora lo si definisce eculideo; discorso analogo per gli UFD!
...l'algoritmo della divisione vale esclusivamente in questo tipo di domini...
... credo che stiamo dicendo la stessa cosa... (gli U.F.D. cosa c'entrano con la divisione?)
Comunque il mio problema resta la questione riguardante $ NN $ , indipendentemente dal resto...
Comunque il mio problema resta la questione riguardante $ NN $ , indipendentemente dal resto...
Sicuro che l'algoritmo della divisione euclidea valga esclusivamente in questo tipo di domini? Se non ricordo male, un dominio euclideo (come diceva j18eos) è un dominio di integrità in cui "vale" l'algoritmo della divisione euclidea (nel senso che esiste una funzione che va dal dominio in $\mathbbN$ etc..) ma non è vero che se vale l'algoritmo della divisione eulidea siamo in presenza necessariamente di un dominio di integrità.
A me è stata data questa definizione:..."Un dominio di integrità è detto euclideo (E.D.) se in esso è possibile effettuare una divisione euclidea"...
Comunque forse ho capito... il senso è che affinché possa essere E.D., U.F.D. ecc... ci deve essere l'ipotesi che siamo in un dominio (cosa che non è $ NN $ ). Quindi $ NN $ è una struttura "particolare" che soddisfa proprietà tipiche di E.D. e U.F.D. nonostante non è dominio... giusto?
Comunque forse ho capito... il senso è che affinché possa essere E.D., U.F.D. ecc... ci deve essere l'ipotesi che siamo in un dominio (cosa che non è $ NN $ ). Quindi $ NN $ è una struttura "particolare" che soddisfa proprietà tipiche di E.D. e U.F.D. nonostante non è dominio... giusto?
Più che altro devi vederla così, "È possibile effettuare la divisione euclidea" è una causa NECESSARIA ma NON SUFFICIENTE per essere un dominio di integrità. Quindi se ti trovi di fronte un luogo in cui puoi effettuare la "divisione euclidea" questo non necessariamente è un dominio d'integrità 
P.S.
Per esempio prendi le matrici $M_(2x2)(NN)$ con soli elementi sulla diagonale e poi definisci il grado come $2^(e_(1,1)) 3^(e_(2,2))$, prova a vedere se funziona tutto! (Forse no
) Anche qui è facile vedere che la matrice $e_(1,1)$ non ha inverso
P.S.
Per esempio prendi le matrici $M_(2x2)(NN)$ con soli elementi sulla diagonale e poi definisci il grado come $2^(e_(1,1)) 3^(e_(2,2))$, prova a vedere se funziona tutto! (Forse no
) Anche qui è facile vedere che la matrice $e_(1,1)$ non ha inverso
Però io non sto parlando di domini di integrità ma di DOMINI EUCLIDEI...
...Dominio euclideo $rArr$ P.I.D. $rArr$ U.F.D. $rArr$ Dominio...
...Dominio euclideo $rArr$ P.I.D. $rArr$ U.F.D. $rArr$ Dominio...
Un dominio euclideo è anzitutto un dominio di integrità. Ora, il nome euclideo sta ad indicare solo il fatto che è verificato l'algoritmo della divisione euclidea. Ciò non toglie che questa possa essere verificata in altri "ambienti" che non siano domini di integrità, ad esempio $mathbbN$. Tra l'altro nella dimostrazione dell'algoritmo in $mathbbN$ non sono coinvolte (e quindi non sono richieste) proprietà particolari che caratterizzano gli anelli.
Perfetto... grazie mille!
Giusto per chiudere il cerchio: il concetto di divisibilità è definibile già nei semigruppi, poi volendo di più si passa agli anelli!
@Zilpha Esatto.
@Zilpha Esatto.
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