Problema Relazione

[Lehor]

Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:

Nell'insieme $R^2$ delle coppie ordinate di numeri reali è definita la seguente relazione $(a, b)R(c, d) \Leftrightarrow (a + b)^3 = (c + d)^3$. Si stabilisca se R è d'ordine, solo transitiva, d'equivalenza, solo antisimmetrica.

ecco il mio procedimento:

"la proprietà riflessiva è dimostrata in quanto per $(a+b)^3 in R^2$ e $(c+d)^3 in R^2$ è verificato che $(a+b)^3 = (a+b)^3$ e $(c+d)^3 = (c+d)^3$

è dimostrata anche la proprietà simmetrica poichè è vero che $(a+b)^3 = (c+d)^3 hArr (c+d)^3 = (a+b)^3$

inoltre è dimostrata la proprietà transitiva; presa infatti una coppia $(e, f) in R^2$: $(a+b)^3 = (c+d)^3$ e $(c+d)^3 = (e+f)^3$ allora anche $(a+b)^3 = (e+f)^3$

dunque non essendo solo transitiva ne antisimmetrica, e quindi d'ordine, la relazione è di equivalenza."

Il procedimento è giusto o ci sono errori? Anche di commentatura?

grazie in anticipo per le risposte!

[Gi81]

Va tutto bene tranne la riflessiva:

"Lehor":
la proprietà riflessiva è dimostrata in quanto per $(a+b)^3 in R^2$ e $(c+d)^3 in R^2$ è verificato che $(a+b)^3 = (a+b)^3$ e $(c+d)^3 = (c+d)^3$

Una relazione $R$ su un insieme $A$ è riflessiva se e solo se \( \forall x \in A \qquad x R x \).

Dunque devi dimostrare che \( \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2\) si ha \((a,b) R (a,b)\).

(e questo è vero perchè certamente $(a+b)^3= (a+b)^3$ per ogni $a,b in RR$)

[Lehor]

ok mille grazie Gi8