PROBLEMA PERMUTAZIONE
Allora partiamo dal presupposto che ho chiesto alla professoressa ma me l'ha spiegato in maniera troppo frettolosa non facendomi capire nulla.
Il problema è questo:
Sia [tex]a=(1 2)[/tex] permutazione di [tex]S_{6}[/tex]. Determinare il numero di permutazioni b di tipo [tex][2^3][/tex] tali che [tex]ab=ba[/tex].
Io ho ragionato cosi:
Secondo me, l'unico modo per ottenere $ab=ba$ è quello di formare $b$ tale che composto con $a$ dia l'identità anche se composto al contrario.
Dunque a me serve sicuramente un $b$ del tipo: [tex](1 2)(..)(..)[/tex] e gli altri numeri da $3$ a $6$ non mi importa come vengano disposti. Quindi la soluzione è $3$. Ovvero questi $3$ $b$:
1. [tex](1 2)(3 4)(5 6)[/tex]
2. [tex](1 2)(3 5)(4 6)[/tex]
3. [tex](1 2)(3 6)(4 5)[/tex]
La professoressa dice che sono zero da quel che ho capito. Mi spiegate?
Il problema è questo:
Sia [tex]a=(1 2)[/tex] permutazione di [tex]S_{6}[/tex]. Determinare il numero di permutazioni b di tipo [tex][2^3][/tex] tali che [tex]ab=ba[/tex].
Io ho ragionato cosi:
Secondo me, l'unico modo per ottenere $ab=ba$ è quello di formare $b$ tale che composto con $a$ dia l'identità anche se composto al contrario.
Dunque a me serve sicuramente un $b$ del tipo: [tex](1 2)(..)(..)[/tex] e gli altri numeri da $3$ a $6$ non mi importa come vengano disposti. Quindi la soluzione è $3$. Ovvero questi $3$ $b$:
1. [tex](1 2)(3 4)(5 6)[/tex]
2. [tex](1 2)(3 5)(4 6)[/tex]
3. [tex](1 2)(3 6)(4 5)[/tex]
La professoressa dice che sono zero da quel che ho capito. Mi spiegate?
Risposte
Per come e' posto l'esercizio, direi che quelle tre soluzioni sono valide. Per dire che sono le uniche, il tuo ragionamento non e' proprio completo perche' a priori, se il supporto di $b$ e' disgiunto dal supporto di $a$ allora $ab=ba$. Il punto e' che in questo caso non ci sono elementi di tipo $(2,2,2)$ con supporto disgiunto da $\{1,2\}$.
In generale, se $\sigma$ e' una permutazione di $S_k \subseteq S_n$ allora le permutazioni di $S_n$ che commutano con $S_k$ formano un sottogruppo $C \times S_{n-k}$ dove $C$ e' il sottogruppo delle permutazioni su $\{1 , ... , k\}$ che commutano con $\sigma$ e $S_{n-k}$ agisce sugli elementi $\{k+1 , ... , n-k\}$.
In generale, se $\sigma$ e' una permutazione di $S_k \subseteq S_n$ allora le permutazioni di $S_n$ che commutano con $S_k$ formano un sottogruppo $C \times S_{n-k}$ dove $C$ e' il sottogruppo delle permutazioni su $\{1 , ... , k\}$ che commutano con $\sigma$ e $S_{n-k}$ agisce sugli elementi $\{k+1 , ... , n-k\}$.
"Pappappero":
Il punto e' che in questo caso non ci sono elementi di tipo $(2,2,2)$ con supporto disgiunto da $\{1,2\}$.
Questo perchè l'esercizio ci impone di trovare gli $b$ i cui elementi appartengano a [tex]S_6[/tex] giusto? Se però dovessimo trovare tutti gli $b$ i cui elementi partano, ad esempio, da [tex]S_{2+1}[/tex] fino a [tex]S_n[/tex](ammesso che sia una cosa che si possa fare) allora le soluzioni sarebbero infinite?
Infinite sono troppe perche' gli $S_n$ sono tutti finiti.
Se pero', ad esempio, ti si chiedesse di trovare elementi di tipo $(2,2,2)$ in $S_8$ che commutano con $a$, allora avresti tutte le permutazioni della forma
$$
(1,2)(i,j)(k,l)
$$
con $\{i,j,k,l\} \subseteq \{3,4,5,6,7,8\}$ (come prima ce li avevi tra $3$ e $6$) e tutte le permutazioni della forma
$$
(i,j)(k,l)(r,s)
$$
con $\{i,j,k,l,r,s\} \subseteq \{3,4,5,6,7,8\}$.
Non sono sicuro di cosa intendi con $S_{2+1}$ ne' di cosa intendi con "partano"
Se pero', ad esempio, ti si chiedesse di trovare elementi di tipo $(2,2,2)$ in $S_8$ che commutano con $a$, allora avresti tutte le permutazioni della forma
$$
(1,2)(i,j)(k,l)
$$
con $\{i,j,k,l\} \subseteq \{3,4,5,6,7,8\}$ (come prima ce li avevi tra $3$ e $6$) e tutte le permutazioni della forma
$$
(i,j)(k,l)(r,s)
$$
con $\{i,j,k,l,r,s\} \subseteq \{3,4,5,6,7,8\}$.
Non sono sicuro di cosa intendi con $S_{2+1}$ ne' di cosa intendi con "partano"
Perfetto tutto molto chiaro.
Intendevo le permutazioni in [tex]S_n[/tex]tranne [tex]S_2[/tex]
Grazie ancora
"Pappappero":
Non sono sicuro di cosa intendi con [tex]S_{2+1}[/tex] ne' di cosa intendi con "partano"[/tex]
Intendevo le permutazioni in [tex]S_n[/tex]tranne [tex]S_2[/tex]
Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo