Problema matematica discreta
Salve a tutti,
devo svolgere questo esercizio:
Calcolare $(a+b)^31 (mod 31)$. In $(a+b)^31$ , calcolare il coefficiente di $a^2b^29$ e ridurlo mod(2) e mod(3).Per quale p primo tale coefficiente è congruo a 0 mod(p) ?
Scrivo quello che ho fatto(non so se sià giusto o sbagliato):
$1^31 =- 1(mod31), a^31 =- a(mod 31), b^31 =- b(mod31), a^31 + b^31 =- a+b(mod 31) --> (a+b)^31 = a+b(mod 31) $
anche nel caso fosse giusto fin qui comunque non saprei continuare l'esercizio
devo svolgere questo esercizio:
Calcolare $(a+b)^31 (mod 31)$. In $(a+b)^31$ , calcolare il coefficiente di $a^2b^29$ e ridurlo mod(2) e mod(3).Per quale p primo tale coefficiente è congruo a 0 mod(p) ?
Scrivo quello che ho fatto(non so se sià giusto o sbagliato):
$1^31 =- 1(mod31), a^31 =- a(mod 31), b^31 =- b(mod31), a^31 + b^31 =- a+b(mod 31) --> (a+b)^31 = a+b(mod 31) $
anche nel caso fosse giusto fin qui comunque non saprei continuare l'esercizio
Risposte
Indico con $=_{31}$ la congruenza modulo $31$.
Parti da un'assunzione sbagliata, cioe' $1^{31} =_{31} -1$. Questo e' falso, perche' $1^{31} = 1$ e chiaramente $1$ e $-1$ non sono uguali modulo $31$.
In generale, $(a+b)^{p} =_{p} a^p + b^p$: piu' precisamente, elevare alla $p$ nell'anello degli interi modulo $p$ (talvolta indicato $\mathbb{Z}_p$ e' un morfismo di anelli, e si chiama Morfismo di Frobenius. Ti si chiede di dimostrarlo nel caso in cui $p = 31$. Prova a usare la Formula del binomio di Newton per dimostrarlo.
Parti da un'assunzione sbagliata, cioe' $1^{31} =_{31} -1$. Questo e' falso, perche' $1^{31} = 1$ e chiaramente $1$ e $-1$ non sono uguali modulo $31$.
In generale, $(a+b)^{p} =_{p} a^p + b^p$: piu' precisamente, elevare alla $p$ nell'anello degli interi modulo $p$ (talvolta indicato $\mathbb{Z}_p$ e' un morfismo di anelli, e si chiama Morfismo di Frobenius. Ti si chiede di dimostrarlo nel caso in cui $p = 31$. Prova a usare la Formula del binomio di Newton per dimostrarlo.
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