Problema induzione
non c'è niente da fare sono completamente negato con queste induzioni 
ecco i miei problemi:
1) Provare che $n^3-n$ è divisibile per 3 per ogni n appartente a N
2) Provare che $5^n-1$ è divisibile per 4 per ogni n appartente a N
vi ringrazio anticipatamente............
ecco i miei problemi:
1) Provare che $n^3-n$ è divisibile per 3 per ogni n appartente a N
2) Provare che $5^n-1$ è divisibile per 4 per ogni n appartente a N
vi ringrazio anticipatamente............
Risposte
1) Se $n = 0$ ok. Supponiamo che $n^3 - n$ sia divisibile per $3$, ossia supponiamo che esista $k_n \in \mathbb{N}$ tale che $n^3 - n = 3 k_n$, allora
$(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3 n^2 + 3 n - n = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) = 3 k_n + 3 (n^2 + n) = 3 (k_n + n^2 + n)$
Posto $k_{n+1} = k_n + n^2 + n$ allora $(n+1)^3 - (n+1) = 3 k_{n+1}$, da cui segue che anche $(n+1)^3 - (n+1)$ è divisibile per $3$.
2) Se $n=0$ ok. Supponiamo che $5^n - 1$ sia divisibile per $4$, ossia che esista $k_n \in \mathbb{N}$ tale che $5^n - 1 = 4 k_n$, allora
$5^{n+1} - 1 = 5 \cdot 5^n - 1 = 5 (5^n - 1 + 1) - 1 = 5 (4 k_n + 1) - 1 = 20 k_n + 4 = 4 (5 k_n + 1)$
Posto $k_{n+1} = 5 k_n + 1$ risulta $5^{n+1} - 1 = 4 k_{n+1}$, quindi anche $5^{n+1} - 1$ è divisibile per $4$.
$(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3 n^2 + 3n + 1 - n - 1 = n^3 + 3 n^2 + 3 n - n = (n^3 - n) + 3 (n^2 + n) = 3 k_n + 3 (n^2 + n) = 3 (k_n + n^2 + n)$
Posto $k_{n+1} = k_n + n^2 + n$ allora $(n+1)^3 - (n+1) = 3 k_{n+1}$, da cui segue che anche $(n+1)^3 - (n+1)$ è divisibile per $3$.
2) Se $n=0$ ok. Supponiamo che $5^n - 1$ sia divisibile per $4$, ossia che esista $k_n \in \mathbb{N}$ tale che $5^n - 1 = 4 k_n$, allora
$5^{n+1} - 1 = 5 \cdot 5^n - 1 = 5 (5^n - 1 + 1) - 1 = 5 (4 k_n + 1) - 1 = 20 k_n + 4 = 4 (5 k_n + 1)$
Posto $k_{n+1} = 5 k_n + 1$ risulta $5^{n+1} - 1 = 4 k_{n+1}$, quindi anche $5^{n+1} - 1$ è divisibile per $4$.
che cos'è quel $k_n?$ scusa la mia ignoranza.......
Un intero non negativo.
Voglio dire, se $a$ e $b$ sono due interi, dire che $b$ è divibisibile per $a$ significa dire che esiste un intero $k$ tale che $b = k a$.
non ho tempo per analizzarlo con attenzione ma ho visto che il calcolo è molto semplice ti ringrazio........poi domani per gratitudine posto qualche esercizio che ho già svolto per i fatti miei con la speranza che a qualcuno possa servire.......
ciao e grazie ancora
ciao e grazie ancora
Corel_86 ha scritto: "non ho tempo per analizzarlo con attenzione ..."
Che cosa è che non hai tempo di analizzare con attenzione? Non c'è nulla da analizzare ...
a meno che tu non ti riferisca all'aggettivo usato da Tipper: "voglio .... dire che b è divibisibile "
Restiamo in ansiosa attesa dei tuoi "esercizi svolti"
Che cosa è che non hai tempo di analizzare con attenzione? Non c'è nulla da analizzare ...
a meno che tu non ti riferisca all'aggettivo usato da Tipper: "voglio .... dire che b è divibisibile "
Restiamo in ansiosa attesa dei tuoi "esercizi svolti"
era inteso per il fatto che ieri me ne stavo andando via per questo ho detto non ho tempo di analizzarlo......non volevo criticare nessuno ne tantomeno insultare....
ritornado all'esercizio......
quando scriviamo che $n^3 - n= 3k_n$ significa che $n^3-n$ e divisibile per tre cioè vale a dire (correggimi se sbaglio)
$n^3-n-=0 (mod 3)$ giusto?
quando scriviamo che $n^3 - n= 3k_n$ significa che $n^3-n$ e divisibile per tre cioè vale a dire (correggimi se sbaglio)
$n^3-n-=0 (mod 3)$ giusto?
Sì.
ok grazie mille tipper mi hai davvero aiutato purtroppo non ci sono arrivato da solo.......uffa era talmente semplice 
......
ciao e grazie ancora
......ciao e grazie ancora
Bene, ora finito il riscaldamento, dimostriamo il "Piccolo Teorema di Fermat".
Cito da Wikipedia: Il piccolo teorema di Fermat dice che se p è un numero primo, allora per ogni intero $a$:
$a^p -= a $ ____mod${p}$
Ho evidenziato io il brano in neretto, perchè si tratta di un'ipotesi necessaria.
Allora si deve dimostrare che: per ogni intero $a$, se $p$ é primo, si ha $a^p -= a $ ____mod${p}$
Usiamo ancora il principio di induzione finita (lavorando su $n$, non su $p$) e il gioco è fatto!
Basta usare lo sviluppo del binomio di Newton e notare che tutti i coefficienti binomiali del tipo $((p),(k))$ con $k=1,2,....,p-1$ sono multipli di $p$,
se $p$ è primo.
Per esempio per p=7 ci sono 8 coefficienti binomiali di "ordine" 7 :
1 7 21 35 35 21 7 1 (cfr. triangolo di Tartaglia) che, esclusi il primo e l'ultimo, sono tutti multipli di 7.
La dimostrazione suddetta la lascio come utile esercizio per Corel_86 ...
Cito da Wikipedia: Il piccolo teorema di Fermat dice che se p è un numero primo, allora per ogni intero $a$:
$a^p -= a $ ____mod${p}$
Ho evidenziato io il brano in neretto, perchè si tratta di un'ipotesi necessaria.
Allora si deve dimostrare che: per ogni intero $a$, se $p$ é primo, si ha $a^p -= a $ ____mod${p}$
Usiamo ancora il principio di induzione finita (lavorando su $n$, non su $p$) e il gioco è fatto!
Basta usare lo sviluppo del binomio di Newton e notare che tutti i coefficienti binomiali del tipo $((p),(k))$ con $k=1,2,....,p-1$ sono multipli di $p$,
se $p$ è primo.
Per esempio per p=7 ci sono 8 coefficienti binomiali di "ordine" 7 :
1 7 21 35 35 21 7 1 (cfr. triangolo di Tartaglia) che, esclusi il primo e l'ultimo, sono tutti multipli di 7.
La dimostrazione suddetta la lascio come utile esercizio per Corel_86 ...
io sapevo che il piccolo teorema di fermat dice il seguente aaserto
Siano p un numero primo e x un intero positivo tali che x non congruo 0 (mod p)
allora: $x^(p-1)-= 1 (mod p)$
ma questo teorema serve a calcolare l'esercizio che ho provato a svolgere?........se è cosi aiutami perchè non l'ho capito...
Siano p un numero primo e x un intero positivo tali che x non congruo 0 (mod p)
allora: $x^(p-1)-= 1 (mod p)$
ma questo teorema serve a calcolare l'esercizio che ho provato a svolgere?........se è cosi aiutami perchè non l'ho capito...
Guarda su Wikipedia alla voce "Piccolo teorema di Fermat" (usa Google).
Vedrai che la prima formulazione è esattamente equivalente alla tua se $a$ è "coprimo" con $p$, cioè non ha come fattore $p$.
Infatti, se è vero che $x^p-x-=0$ __ $mod(p)$, allora per qualche intero $b$ si ha: $x^p-x-=bp$.
Ma , mettendo a fattor comune $x$. ciò equivale a
$x(x^{p-1}-1)=bp$
Ora confronta le due quantità, una a sinistra, l'altra a destra. Se coincidono, essendo unica la scomposizione in fattori primi, segue, in particolare, che il numero primo $p$, che figura esplicitamente nel lato di destra, deve per forza dividere anche il membro di sinistra.
Ma per ipotesi $x$ non contiene $p$ come fattore. Quindi è l'altro fattore, quello fra parentesi tonde, che deve essere multiplo di $p$. E questa è proprio la tesi alternativa del piccolo teorema di Fermat, quella a te nota.
Cioè, se vale la tesi così come l'ho enunciata io, allora per un qualche intero $c$ deve essere
$x^{p-1}-1=cp$
che è un altro modo di scrivere
$x^{p-1}-=1 " "mod(p)$, la tesi "piccola" di Fermat, come la conosci tu.
Convinta?
Vedrai che la prima formulazione è esattamente equivalente alla tua se $a$ è "coprimo" con $p$, cioè non ha come fattore $p$.
Infatti, se è vero che $x^p-x-=0$ __ $mod(p)$, allora per qualche intero $b$ si ha: $x^p-x-=bp$.
Ma , mettendo a fattor comune $x$. ciò equivale a
$x(x^{p-1}-1)=bp$
Ora confronta le due quantità, una a sinistra, l'altra a destra. Se coincidono, essendo unica la scomposizione in fattori primi, segue, in particolare, che il numero primo $p$, che figura esplicitamente nel lato di destra, deve per forza dividere anche il membro di sinistra.
Ma per ipotesi $x$ non contiene $p$ come fattore. Quindi è l'altro fattore, quello fra parentesi tonde, che deve essere multiplo di $p$. E questa è proprio la tesi alternativa del piccolo teorema di Fermat, quella a te nota.
Cioè, se vale la tesi così come l'ho enunciata io, allora per un qualche intero $c$ deve essere
$x^{p-1}-1=cp$
che è un altro modo di scrivere
$x^{p-1}-=1 " "mod(p)$, la tesi "piccola" di Fermat, come la conosci tu.
Convinta?
@Corel_86
Rispondo alla tua domanda finale.
Certo che potevi risolvere i tuoi esercizi senza ricorrere al principio di induzione. Bastava che tu dicessi: essendo 3 primo, l'identità che si chiede di provare è una conseguenza immediata del pTF. Idem per l'esponente 5. Bello, no?
Nota che nella mia formulazione (presa anch'essa da Wikipedia) non è necessario che x e p siano primi fra loro.
Rispondo alla tua domanda finale.
Certo che potevi risolvere i tuoi esercizi senza ricorrere al principio di induzione. Bastava che tu dicessi: essendo 3 primo, l'identità che si chiede di provare è una conseguenza immediata del pTF. Idem per l'esponente 5. Bello, no?
Nota che nella mia formulazione (presa anch'essa da Wikipedia) non è necessario che x e p siano primi fra loro.
guarda che io sono un ragazzo.........comunque l'ho visto sul "sito di enciclopedia on line" (evito di fare pubblicità) ma non riesco a capire perchè il teorema binomiale si esprime in questo modo è una definizione o un teorema? non riesco a capire
ritiro la mia domanda perchè comunque adesso ho visto tutto il procedimento e nn dovrei avrei più problemi.....ti ringrazio........ciao
Corel_86 scripsit:
Scusa per il "quiproquo", ma ero così preso dalla discussione che non ho badato ...
Peraltro, non so perché, il tuo nickname tende a suggerirmi un nome femminile (mi sa che è così in USA).
Quanto a Wikipedia, non vedo perchè non la si dovrebbe citare, dato che:
1) E' un'organizzazione che non ha scopo di lucro ed infatti non vedi mai comparire messaggi pubblicitari quando la consulti
2) Tranne qualche pecca isolata, é fatta veramente bene e copre praticamente l'intero scibile umano
3) La consultazione è gratuita
4) Oggigiorno, in fondo ad un articolo pubblicato su riviste eccellenti, oltre alla Bibliografia, si usa ormai aggiungere anche la cosiddetta "Sitografia", dove si elencano i siti WEB che si sono consultati per preparare l'articolo in questione. Quindi, essendo invalsa (giustamente) questa consuetudine, non solo non è inopportuno aggiungere Wikipedia e altre fonti sul WEB nella Sitografia, ma, al contrario, sarebbe addirittura scorretto e disonesto tacere di aver proficuamente consultato una fonte sul WEB, perchè un ricercatore serio è tenuto a citare esplicitamente e accuratamente tutte le fonti da cui ha ottenuto le sue informazioni.
guarda che io sono un ragazzo.........comunque l'ho visto sul "sito di enciclopedia on line" (evito di fare pubblicità)
Scusa per il "quiproquo", ma ero così preso dalla discussione che non ho badato ...
Peraltro, non so perché, il tuo nickname tende a suggerirmi un nome femminile (mi sa che è così in USA).
Quanto a Wikipedia, non vedo perchè non la si dovrebbe citare, dato che:
1) E' un'organizzazione che non ha scopo di lucro ed infatti non vedi mai comparire messaggi pubblicitari quando la consulti
2) Tranne qualche pecca isolata, é fatta veramente bene e copre praticamente l'intero scibile umano
3) La consultazione è gratuita
4) Oggigiorno, in fondo ad un articolo pubblicato su riviste eccellenti, oltre alla Bibliografia, si usa ormai aggiungere anche la cosiddetta "Sitografia", dove si elencano i siti WEB che si sono consultati per preparare l'articolo in questione. Quindi, essendo invalsa (giustamente) questa consuetudine, non solo non è inopportuno aggiungere Wikipedia e altre fonti sul WEB nella Sitografia, ma, al contrario, sarebbe addirittura scorretto e disonesto tacere di aver proficuamente consultato una fonte sul WEB, perchè un ricercatore serio è tenuto a citare esplicitamente e accuratamente tutte le fonti da cui ha ottenuto le sue informazioni.
d'accordo scusami pensavo facessi della pubblicità occultà per questo ho detto in questo modo.....comunque ti ringrazio per avermi sottolineato la cosa......ciao
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