Problema impossibile (per me) di Algebra
Siano $A$, $B$ anelli commutativi unitari ed $I$ un ideale di $C=AxxB$. Identifichiamo $A$ con l'ideale $Axx{0}$ di $C$ e $B$ con l'ideale ${0}xxB$ di $C$. Provare che:
1) $I=I_1xxI_2$, dove $I_1$ è un ideale di $A$ e $I_2$ è un ideale di $B$;
2) $C/I~=A/I_1xxB/I_2$;
3) se $I$ è primo, allora o $I_1=A$ e $I_2$ è un ideale primo di $B$, o $I_2=B$ e $I_1$ è un ideale primo di $A$;
4) se $I_1$ è un ideale massimale di $A$, allora $I=I_1xxB$ è un ideale massimale di $C$.
Per il punto 1 basta porre $I_1=(1,0)I$ e $I_2=(0,1)I$.
Per il punto 2 non è difficile costruire un omomorfismo di anelli che ha come nucleo $I$, in cui applico il primo teorema di omomorfismo.
Per gli altri punti non ho alcuna idea, quindi mi affido a voi luminari dell'algebra per risolvere la questione
1) $I=I_1xxI_2$, dove $I_1$ è un ideale di $A$ e $I_2$ è un ideale di $B$;
2) $C/I~=A/I_1xxB/I_2$;
3) se $I$ è primo, allora o $I_1=A$ e $I_2$ è un ideale primo di $B$, o $I_2=B$ e $I_1$ è un ideale primo di $A$;
4) se $I_1$ è un ideale massimale di $A$, allora $I=I_1xxB$ è un ideale massimale di $C$.
Per il punto 1 basta porre $I_1=(1,0)I$ e $I_2=(0,1)I$.
Per il punto 2 non è difficile costruire un omomorfismo di anelli che ha come nucleo $I$, in cui applico il primo teorema di omomorfismo.
Per gli altri punti non ho alcuna idea, quindi mi affido a voi luminari dell'algebra per risolvere la questione
Risposte
Nel punto 4) c'è l'ipotesi sottointesa che $I$ sia primo?
Non so risponderti...
Questo è un problema assegnato dalla prof in sede d'esame...
Questo è un problema assegnato dalla prof in sede d'esame...
3) Certamente $I_1$ e $I_2$ sono primi: sia infatti $ab\in I_1$. Allora $(a,0)(b,0)=(ab,0)\in I$ e dunque $(a,0)\in I$ o $(b,0)\in I$ e dunque $a\in I_1$ o $b\in I_1$. Stesso discorso per $I_2$.
Supponiamo ora che $I_1!=A$. Sia $a\in A$ e $a\notin I_1$. Abbiamo che $(0,1)(a,0)=(0,0)\in I$. Poiche' $I$ e' primo deve essere per forza $(0,1)\in I$ e dunque $1\in I_2$ e dunque $I_2=B$.
Supponiamo ora che $I_1!=A$. Sia $a\in A$ e $a\notin I_1$. Abbiamo che $(0,1)(a,0)=(0,0)\in I$. Poiche' $I$ e' primo deve essere per forza $(0,1)\in I$ e dunque $1\in I_2$ e dunque $I_2=B$.
Grazie per l'aiuto, fields 
Sai dirmi qualcosa anche per il punto 4, così lo finisco questo problema
Sai dirmi qualcosa anche per il punto 4, così lo finisco questo problema
"matths87":
4) se $I_1$ è un ideale massimale di $A$, allora $I=I_1xxB$ è un ideale massimale di $C$.
Secondo me e' cosi'
4) se $I_1$ è un ideale massimale di $A$, allora $I=I_1xxB$ è un ideale massimale di $I$.
Se no non mi sembra sensato...
EDIT: vedo bene quello che ho scritto? "allora $I$ è un ideale massimale di $I$"
Mi sa che devo incominciare a bere il caffé di mattina
Anch'io ho avuto questa intuizione, ma in matematica servono anche le dimostrazioni
Grazie comunque per il supporto
Grazie comunque per il supporto
Scusa matths87, il problema 4) e' sensato. Sono rimbecillito stamattina, non so perche'..
Un ideale di $C$ che contiene $I_1\times B$, deve essere della forma $J\times B$ con $J$ ideale di $A$ contenente $I_1$. Essendo $I_1$ massimale, $J=A$.
Un ideale di $C$ che contiene $I_1\times B$, deve essere della forma $J\times B$ con $J$ ideale di $A$ contenente $I_1$. Essendo $I_1$ massimale, $J=A$.
"fields":
Scusa matths87, il problema 4) e' sensato. Sono rimbecillito stamattina, non so perche'..
Un ideale di $C$ che contiene $I_1\times B$, deve essere della forma $J\times B$ con $J$ ideale di $A$ contenente $I_1$. Essendo $I_1$ massimale, $J=A$.
Sì, ma non hai chiarito perché debba essere $I=I_1 \times B$.
Secondo me c'è l'ipotesi sottointesa che $I$ sia primo. In tal caso il punto 4) segue facilmente dal 3).
Probabilmente è come ha detto Martino... Direi che il problema è concluso. Grazie a tutti per l'aiuto e perdonate la mia ignoranza.
Ragazzi, e' il testo che pone $I=I_1\times B$. Del resto non si puo' dedurre alcunche' su $I_2$ noto solo $I_1$. E l'ipotesi che $I$ sia primo non c'e', non potete mica inventarvela
"fields":
Ragazzi, e' il testo che pone $I=I_1\times B$. Del resto non si puo' dedurre alcunche' su $I_2$ noto solo $I_1$. E l'ipotesi che $I$ sia primo non c'e', non potete mica inventarvela
Potresti rileggere il testo con attenzione? Il punto 1) dice che $I=I_1 \times I_2$. Il punto 4) dice che se $I_1$ è massimale allora $I=I_1 \times I_2 = I_1 \times B$, ovvero $I_2 = B$.
Tu dici che la $I$ del punto 4) è diversa dalla $I$ dell'inizio? Mah, mi sembra strano...
Non è che è la $I$ del punto 4 e' diversa, semplicemente nel punto 4 si pone $I_2=B$. Comunque, a questo punto si puo' interpretare il testo un po' come pare. Certo, aggiungere nel 4) un'ipotesi non scritta mi sembra un po' troppo.
"fields":
Non è che è la $I$ del punto 4 e' diversa, semplicemente nel punto 4 si pone $I_2=B$. Comunque, a questo punto si puo' interpretare il testo un po' come pare. Certo, aggiungere nel 4) un'ipotesi non scritta mi sembra un po' troppo.
Ho capito cosa vuoi dire
Ho solo un appunto: se l'ipotesi era $I_2=B$ si poteva scriverlo direttamente anziché scrivere $I=I_1 \times B$. Se invece quella non era un'ipotesi ma una tesi, allora mancano delle ipotesi.
Per me il testo rimane poco chiaro. Ma magari sono io che son fatto così
Ciao ciao.
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