Problema_gruppi

[sowdust]

Sia G un gruppo moltiplicativo e siano He K sootogruppi di G.Provare che se H è un sottogruppo normale di K allora HK è un sottogruppo di G.

[vict85]

Ti basta dimostrare che $HK = KH$ perché se vale $HK = KH$ allora $HK$ è un sottogruppo.

Quindi...

LEMMA (1) Siano $H$ e $K$ sottogruppi di un gruppo $G$ allora $HK=KH$ se e solo se $HK$ è un sottogruppo.

Dimostrazione lemma - Supponiamo $HK<= G$. Dati $h^{-1} in H$ e $k^{-1} in K$ abbiamo che $h^{-1}k^{-1} in HK$, d'altra parte $HK$ è un sottogruppo è quindi $(h^{-1}k^{-1})^{-1} = kh in HK$ ma $kh$ è un elemento qualsiasi di $KH$ e quindi $KH \subseteq HK$.
Consideriamo quindi un elemento di $g in HK$ allora siccome $HK$ è un sottogruppo $g^{-1} = hk$ per qualche $h in H$ e $k in K$. Allora $g = k^{-1}h^{-1} in KH$ e quindi $HK \subseteq KH$.
Si deduce quindi che $HK=KH$.

Supponiamo che $HK=KH$ allora $h_1k_1(h_2k_2)^{-1} = h_1(k_1k_2^{-1})h_2^{-1} = h_1h_3k_3 in HK$ (l'esistenza di $h_3$ e $k_3$ deriva da $HK=KH$) e quindi per il criterio dei sottogruppi $HK <= G$.



Dimostrazione Problema basato sul lemma - $KH = \bigcup Hk = \bigcup kH = KH$ e quindi per il lemma (1) $KH=HK$ è un sottogruppo di $G$.


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Il lemma in realtà non è così necessario ma trovo utile conoscerlo e quindi te l'ho scritto... Per una dimostrazione diretta guarda sotto...

Dimostrazione senza lemma - $h_1k_1(h_2k_2)^{-1} = h_1(k_1k_2^{-1})h_2^{-1} = h_1h_3(k_1k_2^{-1}) in HK$ dove l'esistenza di quell'$h_3$ deriva dal fatto che se $H$ è normale allora $kH = Hk$


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Siccome non hai messo le tue idee ti lascio con un esercizio basato su ciò che ho dimostrato sopra.

ESERCIZIO - Siano $H$ e $K$ due sottogruppi normali di un gruppo $G$ allora $HK$ è un sottogruppo normale.