Problema esercizi algebra dei gruppi e anelli

[andrea13231]

salve a tutti, avrei un problema nella risoluzione di questi 2 esercizi, per essere precisi non riesco a risolovere i punti c), d) sia del primo che del secondo.


grazie a tutti coloro che avranno la pazienza di rispondere =)

[moxetto]

Ciao, per il punto d) dell'ex 1 mi viene in mente che se un gruppo è abeliano allora è ciclico. Quindi se prendi due elementi di G/K e verifichi che non commutano allora hai dimostrato che non è ciclico. Spero di esserti stato d'aiuto!

[rubik2]

"moxetto":Ciao, per il punto d) dell'ex 1 mi viene in mente che se un gruppo è abeliano allora è ciclico. Quindi se prendi due elementi di G/K e verifichi che non commutano allora hai dimostrato che non è ciclico. Spero di esserti stato d'aiuto!

Credo volessi dire che se un gruppo è ciclico allora è abeliano, comunque non può funzionare in quanto $G$ è commutativo

[moxetto]

Eh sì volevo dire quello! Come non detto...
Qiundi se $G$ è ciclico anche G/K lo è?

[rubik2]

"moxetto":Qiundi se $G$ è ciclico anche G/K lo è?

questo non lo so, io volevo dire che se $G$ è commutativo anche $G//K$ lo è e quindi non puoi usare il criterio "non commutativo $\Rightarrow$ non ciclico"

Per il primo esercizio osserva che $G$ è formato da tutte e sole le frazioni con numeratore e denominatore dispari mentre $K$ è formato dalle frazioni con numeratore e denominatore dispari ma non divisibili per 3, per capire come è fatto il quoziente prendi un elemento qualsiasi di $G$ diciamo $n/m$ puoi fattorizzare n ed m mettendo in evidenza le eventuali potenze di 3 presenti in entrambi:

$n=3^t*n'$
$m=3^s*m'$ con $n',m'$ coprimi con 3 allora vale $n/m=3^(t-s)*(n')/(m')$ visto modulo $K$ si ha che $[n/m]=[3^(t-s)]$ quindi $G//K={3^k| k in ZZ}$ che è numerabile e ciclico.

Per il secondo esercizio osserva che se $((a,b),(0,a)) in A$ sta in un ideale proprio $I$ allora $a=0$ in quanto altrimenti la matrice sarebbe invertibile in $A$. Quindi un ideale contiene solo elementi del tipo $((0,b),(0,0))$, e se ne contiene uno con $b!=0$ allora contiene tutte le matrici $((0,lambda),(0,0))$ basta prendere $mu$ tale che $mu*b=lambda$ e l'elemento $((mu,0),(0,mu))*((0,b),(0,0))=((0,lambda),(0,0))$ sta nell'ideale in quanto ci sta $((0,b),(0,0))$

la mappa che cerchi è $((a,b),(0,a))->bx+a$ verifica te che funzioni (mi pare ma non ho controllato).

ciao

[andrea13231]

grazie mille rubik, sei stato chiarissimo; riguardo il punto d) ho verificato che è proprio quella la funzione che cercavo.
grazie di nuovo a tutti per la disponibilità =)
ciao!

[NightKnight1]

$G$ è un gruppo ciclico perché sottogruppo del gruppo moltiplicativo $QQ^*$ del campo $QQ$.
Quindi anche $G/K$ è ciclico perché quoziente di ciclico.

[andrea13231]

Scusate ho un problema con un'altro esercizio:
Sia $ A= ZZ_3 x ZZ_3 $, anello commutativo unitario, con le operazioni
$ (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) $
$ (a,b)*(c,d) = (ac+bd, ad+bc) $

i) trovare gli ideali di A.
ii) Posto $ B= ZZ_3[x]//(x^2+2) $ verificare che $A$ è isomorfo a $ B $

per il primo punto ho trovato gli elementi invertibili di A e i suoi divisori dello zero. Ho trovato (o almeno credo) 3 ideali propri, quelli formati dalle coppie $ (0,0), (1,1), (2,2) $ e dalle coppie $ (0,0), (1,2), (2,1) $ e quello formato dall'unione di questi due, ma non sono sicuro che siano proprio tutti gli ideali propri di A.
per il sencondo punto invece, ho cercato un omomorfismo da $ ZZ_3 x ZZ_3$ a $ B $ e che avesse nucleo proprio l'ideale generato da $ x^2 + 2$, in modo da poter sfruttare i teoremi sui morfismi, ma non riesco a trovarlo .