Problema dispense di Martino: gruppi e ciclicitá
Mi rivolgo a tutto il forum, ma in particolare a Martino, perché il problema lo ho trovato nelle sue dispense.
Allora
Mostrare che se $G$ é un gruppo finito, tale che per ogni divisore $d$ di $|G|$ esiste un unico sottogruppo di $G$ di ordine $d$ allora $G$ é ciclico.
Io penso di averlo risolto, scrivo qui per avere conferma e sapere se ci sono strade migliori:
Ho detto che dato che per ogni divisore c'e un solo sottogruppo con quell'ordine, allora tutti i Sylow sono normali in G. Quindi essendo che Sylow per p primi distinti, si intersecano nell' unita. Allora, si puó concludere che G isomorfo al prodotto diretto dei sylow.
Quindi ora procedo per induzione a dimostrare che un p-gruppo che soddisfi la tesi é ciclico: base banale, e poi induttivamente, al passo n ho che si sottogruppi di ordine $p^(n-1)$ ce n'e uno, ciclico per ipotesi induttiva e generato da $b$, dunque coincide con tutti i suoi coniugati e quindi é normale. Passo al quoziente, naturalmente il quoziente é ciclico, dunque posso trovare un generatore, detto $a$. Allora il generatore per il mio n-esimo p-gruppo l'ho trovato ed é $ab$.
Quindi il gruppo G di partenza é prodotto diretto di abeliani (ciclici). Considero gli elementi della forma $(1,1,....,1,p_i,1,...1)$ dove $p_i$ e generatore dell'i-esimo p-sylow. Avendo tali elementi ordini le cardinalitá dei sylow, essendo G abeliano ottengo che l'elemento prodotto ha ordine esattamente la cardianlita di G, dunque G é ciclico.
Puó andare?
PS: chiedo venia per eventuali idiozie scritte
Allora
Mostrare che se $G$ é un gruppo finito, tale che per ogni divisore $d$ di $|G|$ esiste un unico sottogruppo di $G$ di ordine $d$ allora $G$ é ciclico.
Io penso di averlo risolto, scrivo qui per avere conferma e sapere se ci sono strade migliori:
Ho detto che dato che per ogni divisore c'e un solo sottogruppo con quell'ordine, allora tutti i Sylow sono normali in G. Quindi essendo che Sylow per p primi distinti, si intersecano nell' unita. Allora, si puó concludere che G isomorfo al prodotto diretto dei sylow.
Quindi ora procedo per induzione a dimostrare che un p-gruppo che soddisfi la tesi é ciclico: base banale, e poi induttivamente, al passo n ho che si sottogruppi di ordine $p^(n-1)$ ce n'e uno, ciclico per ipotesi induttiva e generato da $b$, dunque coincide con tutti i suoi coniugati e quindi é normale. Passo al quoziente, naturalmente il quoziente é ciclico, dunque posso trovare un generatore, detto $a$. Allora il generatore per il mio n-esimo p-gruppo l'ho trovato ed é $ab$.
Quindi il gruppo G di partenza é prodotto diretto di abeliani (ciclici). Considero gli elementi della forma $(1,1,....,1,p_i,1,...1)$ dove $p_i$ e generatore dell'i-esimo p-sylow. Avendo tali elementi ordini le cardinalitá dei sylow, essendo G abeliano ottengo che l'elemento prodotto ha ordine esattamente la cardianlita di G, dunque G é ciclico.
Puó andare?
PS: chiedo venia per eventuali idiozie scritte
Risposte
L'unica cosa che è un po' confusa è la tua dimostrazione nel caso dei p-gruppi. Perché [tex]ab[/tex] è un generatore?
Se [tex]G[/tex] è un gruppo finito di ordine [tex]p^n[/tex] e [tex]G[/tex] ha un unico sottogruppo di ordine [tex]p^{n-1}[/tex] (sia esso [tex]H[/tex]) allora [tex]G[/tex] è ciclico. Sia infatti [tex]g \in G-H[/tex]. Sia [tex]M[/tex] un sottogruppo massimale di [tex]G[/tex] contenente [tex]g[/tex].
E' noto che i sottogruppi massimali di un p-gruppo finito sono normali e hanno indice p.
Quindi [tex]|G:M|=p[/tex], cioè [tex]|M|=p^{n-1}[/tex]. Ma l'unico sottogruppo di [tex]G[/tex] di ordine [tex]p^{n-1}[/tex] è [tex]H[/tex], quindi [tex]g \in M = H[/tex]. Questo contraddice il fatto che [tex]g \in G-H[/tex].
Se vuoi prova a dimostrare che un gruppo finito ha un unico sottogruppo massimale se e solo se è ciclico di ordine una potenza di un primo.
Se [tex]G[/tex] è un gruppo finito di ordine [tex]p^n[/tex] e [tex]G[/tex] ha un unico sottogruppo di ordine [tex]p^{n-1}[/tex] (sia esso [tex]H[/tex]) allora [tex]G[/tex] è ciclico. Sia infatti [tex]g \in G-H[/tex]. Sia [tex]M[/tex] un sottogruppo massimale di [tex]G[/tex] contenente [tex]g[/tex].
E' noto che i sottogruppi massimali di un p-gruppo finito sono normali e hanno indice p.
Quindi [tex]|G:M|=p[/tex], cioè [tex]|M|=p^{n-1}[/tex]. Ma l'unico sottogruppo di [tex]G[/tex] di ordine [tex]p^{n-1}[/tex] è [tex]H[/tex], quindi [tex]g \in M = H[/tex]. Questo contraddice il fatto che [tex]g \in G-H[/tex].
Se vuoi prova a dimostrare che un gruppo finito ha un unico sottogruppo massimale se e solo se è ciclico di ordine una potenza di un primo.
Dimostrare che $G$ un gruppo finito ha un unico sottogruppo massimale $M$ se e solo se é ciclico di ordine una potenza di un primo
$ (rArr ) $
Sia $M$ l'unico sottogruppo massimale, allora sia $g!inM$ allora o $=G$ oppure $<=M$ perché M é massimale ed unico. Ma poiché $g!inM$ allora $=G$, dunque $G$ é ciclico.
Essendo $M$ unico, allora é chiaramente normale, poiché tutti i coniugati di $M$ coincidono con $M$ stesso.
Passando ora al quoziente ottengo che ovviamente $frac G M$ é ciclico e dunque avendo il quoziente solo i sottogruppi banali (perché M é massimale) allora ho che l'ordine del quoziente é un primo, detto $p$. Noto peró che non ci possono essere p- Sylow di primi distinti da $p$, altrimenti, $M$ non potrebbe essere l'unico massimale, dato che comé ho giá scritto p-sylow relativi a primi distinti si intersecano solo nell'unitá. Allora l'ordine di $G$ è una potenza di $p$.
$ (lArr ) $ allora per ogni $k$ si ha che esiste ed é unico il sottogruppo di ordine $p^k$ essendo $G$ ciclico. Allora sia $M$ il sottogruppo di ordine $p^{k-1}$ dunque é ciclico, e dunque ha tutti ed unici sottogruppi potenze di $p$. Allora naturalmente tutti i sottogruppi di $G$ stanno anche in $M$ (per l'unicitá). E dunque $M$ é massimale ed é unico.
Di nuovo spero di non aver sbarellato. Ieri sera la parte sui pgruppi era sbagliata.. Come si poteva fare senza il risultato che hai usato? Perché io non lo conoscevo...
Un rilancio?
$ (rArr ) $
Sia $M$ l'unico sottogruppo massimale, allora sia $g!inM$ allora o $
Essendo $M$ unico, allora é chiaramente normale, poiché tutti i coniugati di $M$ coincidono con $M$ stesso.
Passando ora al quoziente ottengo che ovviamente $frac G M$ é ciclico e dunque avendo il quoziente solo i sottogruppi banali (perché M é massimale) allora ho che l'ordine del quoziente é un primo, detto $p$. Noto peró che non ci possono essere p- Sylow di primi distinti da $p$, altrimenti, $M$ non potrebbe essere l'unico massimale, dato che comé ho giá scritto p-sylow relativi a primi distinti si intersecano solo nell'unitá. Allora l'ordine di $G$ è una potenza di $p$.
$ (lArr ) $ allora per ogni $k$ si ha che esiste ed é unico il sottogruppo di ordine $p^k$ essendo $G$ ciclico. Allora sia $M$ il sottogruppo di ordine $p^{k-1}$ dunque é ciclico, e dunque ha tutti ed unici sottogruppi potenze di $p$. Allora naturalmente tutti i sottogruppi di $G$ stanno anche in $M$ (per l'unicitá). E dunque $M$ é massimale ed é unico.
Di nuovo spero di non aver sbarellato. Ieri sera la parte sui pgruppi era sbagliata.. Come si poteva fare senza il risultato che hai usato? Perché io non lo conoscevo...
Un rilancio?
"And_And92":Non ho ben capito che argomento usi.
Noto peró che non ci possono essere p- Sylow di primi distinti da $p$, altrimenti, $M$ non potrebbe essere l'unico massimale, dato che comé ho giá scritto p-sylow relativi a primi distinti si intersecano solo nell'unitá. Allora l'ordine di $G$ è una potenza di $p$.
Il motivo per cui [tex]G[/tex] dev'essere per forza un p-gruppo è che se [tex]q[/tex] è un primo che divide [tex]|G|[/tex] allora siccome [tex]G[/tex] è ciclico ammette un sottogruppo di indice [tex]q[/tex], che quindi è massimale (ha indice primo), e quindi coincide con l'unico massimale, [tex]M[/tex]. Ne segue che [tex]q=p[/tex].
Come si poteva fare senza il risultato che hai usato? Perché io non lo conoscevo...Non è un "risultato" nel senso proprio, è un lemmino sui p-gruppi del tutto accessibile. A questo punto prova a dimostrarlo se vuoi!
Se [tex]G[/tex] è un [tex]p[/tex]-gruppo finito e [tex]M[/tex] è un suo sottogruppo massimale allora [tex]M[/tex] è normale in [tex]G[/tex] e ha indice [tex]p[/tex].
Non riesco a provare che in un p-gruppo un massimale non puó essere autonormalizzato...Come si fa? Sempre per dimostrare che in un p-gruppo i massimali sono normali e hanno indice p. Per il resto ho fatto.
Per induzione. Se il massimale [tex]M[/tex] contiene il centro [tex]Z(G)[/tex] allora vai a quoziente, se non lo contiene allora [tex]Z(G)M=G[/tex] e quindi [tex]M[/tex] è normale.
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