Problema di combinatoria
Ciao a tutti
ho un dubbio con questo esercizio
Un gruppo di 15 persone visita una città in cui ci sono 150 bar. Alla
fine della serata, uno dei locali contiene 8 di esse, e un altro ne contiene 7. In quanti
modi diversi si può ottenere questa situazione?
"traducendo" la traccia ho pensato che l'esercizio mi chieda "in quanti modi diversi posso disporre 2 oggetti (gruppo di 8 persone e gruppo di 7) in 150 scatole?
se così fosse dovrei applicare una combinazione senza ripetizione quindi
$(n!)/(k!(n-k)!)=(150!)/(2!(150-2)!)$
che ne pensate? è giusto come ragionamento? o devo considerare anche che nei 2 gruppi di persone ci sono delle combinazioni? in questo caso come si risolverebbe?
grazie a tutti
ho un dubbio con questo esercizio
Un gruppo di 15 persone visita una città in cui ci sono 150 bar. Alla
fine della serata, uno dei locali contiene 8 di esse, e un altro ne contiene 7. In quanti
modi diversi si può ottenere questa situazione?
"traducendo" la traccia ho pensato che l'esercizio mi chieda "in quanti modi diversi posso disporre 2 oggetti (gruppo di 8 persone e gruppo di 7) in 150 scatole?
se così fosse dovrei applicare una combinazione senza ripetizione quindi
$(n!)/(k!(n-k)!)=(150!)/(2!(150-2)!)$
che ne pensate? è giusto come ragionamento? o devo considerare anche che nei 2 gruppi di persone ci sono delle combinazioni? in questo caso come si risolverebbe?
grazie a tutti
Risposte
Ciao duombo 
Io ragionando la vedo diversamente e procederei così come ti descrivo di seguito. Innanzitutto determino i modi in cui è possibile scegliere due distinti bar tra i $150$ presenti. Tale quantità è pari a: \[C_{150, 2} = \binom{150}{2} \]
Ora bisogna scegliere tra le $15$ persone che ci sono le $8$ presenti nel primo bar (le altre $7$ verranno collocate di conseguenza nel secondo). Tale quantità è pari a: \[C_{15, 8} = \binom{15}{8} \]
o analogamente:
\[C_{15, 7} = \binom{15}{7} \]
Da notare infatti come sia ininfluente scegliere invece prima le $7$ da collocare nel primo bar e piazzare nel secondo le $8$ rimanenti di conseguenza (i coefficienti binomiali relativi forniscono esattamente la medesima quantità).
Infine il tutto va moltiplicato per due proprio perché le persone scelte inizialmente si possono collocare nel primo o nel secondo bar. Ovviamente potrei anche pensare di contemplare subito anche l'ordine nei possibili modi per scegliere i $2$ bar tra i $150$ (così mi eviterei di moltiplicare per $2$ alla fine) usando pertanto le disposizioni semplici (in tal caso però non occorre che moltiplico per $2$ alla fine della scelta delle persone chiaramente). Il risultato è del tutto equivalente.
La situazione descritta si può quindi ottenere nel seguente numero di modi:
\[\binom{150}{2} \cdot \binom{15}{8} \cdot 2 \]
Io ragionando la vedo diversamente e procederei così come ti descrivo di seguito. Innanzitutto determino i modi in cui è possibile scegliere due distinti bar tra i $150$ presenti. Tale quantità è pari a: \[C_{150, 2} = \binom{150}{2} \]
Ora bisogna scegliere tra le $15$ persone che ci sono le $8$ presenti nel primo bar (le altre $7$ verranno collocate di conseguenza nel secondo). Tale quantità è pari a: \[C_{15, 8} = \binom{15}{8} \]
o analogamente:
\[C_{15, 7} = \binom{15}{7} \]
Da notare infatti come sia ininfluente scegliere invece prima le $7$ da collocare nel primo bar e piazzare nel secondo le $8$ rimanenti di conseguenza (i coefficienti binomiali relativi forniscono esattamente la medesima quantità).
Infine il tutto va moltiplicato per due proprio perché le persone scelte inizialmente si possono collocare nel primo o nel secondo bar. Ovviamente potrei anche pensare di contemplare subito anche l'ordine nei possibili modi per scegliere i $2$ bar tra i $150$ (così mi eviterei di moltiplicare per $2$ alla fine) usando pertanto le disposizioni semplici (in tal caso però non occorre che moltiplico per $2$ alla fine della scelta delle persone chiaramente). Il risultato è del tutto equivalente.
La situazione descritta si può quindi ottenere nel seguente numero di modi:
\[\binom{150}{2} \cdot \binom{15}{8} \cdot 2 \]
grazie onlyReferee, quindi secondo te la traccia mi sta chiedendo anche di calcolare i modi in cui possono disporsi le 15 persone in gruppi da 8 e 7... a volte la difficoltà di questi esercizi sta nel capire proprio quello che chiedono 
)
cmq grazie della tua risposta è stata veramente esauriente
) cmq grazie della tua risposta è stata veramente esauriente
Esatto, vedo che hai capito dove sta spesso il problema in questo tipo di esercizi. Talvolta si fa chiarezza solo rileggendo più volte la consegna.
Almeno ti dirò, questo è ciò che ho compreso io leggendo più volte. E' necessario capire prima il problema e solo poi passare alle formule
. Tante volte come avrai avuto modo di provare gli errori si commettono perché non si comprendono le domande/le si leggono di fretta più che per il fatto di non sapere che strumenti usare.
Di nulla, prego, chiedi pure se hai ancora bisogno di chiarimenti.
Almeno ti dirò, questo è ciò che ho compreso io leggendo più volte. E' necessario capire prima il problema e solo poi passare alle formule
. Tante volte come avrai avuto modo di provare gli errori si commettono perché non si comprendono le domande/le si leggono di fretta più che per il fatto di non sapere che strumenti usare.Di nulla, prego, chiedi pure se hai ancora bisogno di chiarimenti.
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