Problema di cardinalità

[Principe2]

Questo invece è semplice, ma non mi ricordo una cosa.
Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso e $T$ un sottoinsieme numerabile di $V$.
Denoto con $S$ l'insieme degli elementi di $V$ che sono combinazione lineare finita di elementi
di $T$ e a coefficienti la cui parte reale e immaginaria è razionale. è vero che $S$ è ancora
numerabile?

Mi pare di sì, in quanto dovrebbe essere unione numerabile di insiemi che hanno la stessa cardinalità
dell'insieme delle parti finite di $T$ e mi pare di ricordare che l'insieme delle parti finite di un insieme
numerabile è ancora numerabile.

[alberto861]

dunque l'insieme delle parti finite mi sembra numerabile perchè fissata una m-pla di elementi $t_1,..t_m$ ogni coefficiente varia su Q e quindi lo puoi mettere in biezione con $Q^m$, facendo poi variare le m-ple puoi numerare questi insiemi numerabili di m-ple in modo tipo diagonali di Cantor:prendi la prima colonna fatta di singoletti, la seconda di coppie, la terza di triple,..quindi mi sembra corretto