Problema di calcolo combinatorio
Gentili utenti del forum,
è corretto lo svolgimento del seguente problema di calcolo combinatorio?
Problema:
In quanti modi si possono mettere in fila 7 palline bianche e 5 palline nere se non possiamo collocare due palline nere una accanto all'altra?
Svolgimento:
Tra ogni pallina nera e quella seguente deve esserci almeno una pallina bianca, quindi cominciamo col mettere in fila le 5 palline nere, separandole con 4 palline bianche, nel modo seguente:
\[N \quad B \quad N \quad B \quad N \quad B \quad N \quad B \quad N \]
Restano da collocare tre palline bianche. Per ciascuna di esse possiamo scegliere tra 6 posti: i quattro spazi tra una pallina nera e l'altra (che contengono già una pallina bianca ciascuno), l'inizio della fila e la fine della fila. Tenendo presente che possiamo anche assegnare lo stesso posto più volte, ad es. mettere tutte e tre le restanti palline bianche all'inizio della fila, si tratta di calcolare il numero di combinazioni con ripetizione dei 6 elementi dell'insieme dei posti disponibili \(P=\{1,2,3,4,5,6\}\) presi a 3 a 3, ossia:
\[\binom{6+3-1}{3}=\binom{8}{3}=56\]
è corretto lo svolgimento del seguente problema di calcolo combinatorio?
Problema:
In quanti modi si possono mettere in fila 7 palline bianche e 5 palline nere se non possiamo collocare due palline nere una accanto all'altra?
Svolgimento:
Tra ogni pallina nera e quella seguente deve esserci almeno una pallina bianca, quindi cominciamo col mettere in fila le 5 palline nere, separandole con 4 palline bianche, nel modo seguente:
\[N \quad B \quad N \quad B \quad N \quad B \quad N \quad B \quad N \]
Restano da collocare tre palline bianche. Per ciascuna di esse possiamo scegliere tra 6 posti: i quattro spazi tra una pallina nera e l'altra (che contengono già una pallina bianca ciascuno), l'inizio della fila e la fine della fila. Tenendo presente che possiamo anche assegnare lo stesso posto più volte, ad es. mettere tutte e tre le restanti palline bianche all'inizio della fila, si tratta di calcolare il numero di combinazioni con ripetizione dei 6 elementi dell'insieme dei posti disponibili \(P=\{1,2,3,4,5,6\}\) presi a 3 a 3, ossia:
\[\binom{6+3-1}{3}=\binom{8}{3}=56\]
Risposte
Si va bene.
Volendo si poteva risolvere in modo diverso, senza che cambi il risultato, ovviamente, disponendo prima le 7 palline bianche e numerando da 1 a 8 gli slot dove si puo' mettere una pallina nera.
Ovvero:
1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8
La prima pallina nera si puo' quindi mettere nello slot 2, ad esempio, che quindi non e' piu' disponibile perche' uno slot puo' contenere solo una pallina nera.
La seconda pallina potrebbe andare nel 5, ad es. e cosi' via.
Abbiamo quindi: $8*7*6*5*4 $ combinazioni, e siccome l'ordine delle palline nere non cambia, si deve dividere per $5*4*3*2*1$.
Alla fine il numero di possibilita' e' \[ \binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56 \]
Volendo si poteva risolvere in modo diverso, senza che cambi il risultato, ovviamente, disponendo prima le 7 palline bianche e numerando da 1 a 8 gli slot dove si puo' mettere una pallina nera.
Ovvero:
1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8
La prima pallina nera si puo' quindi mettere nello slot 2, ad esempio, che quindi non e' piu' disponibile perche' uno slot puo' contenere solo una pallina nera.
La seconda pallina potrebbe andare nel 5, ad es. e cosi' via.
Abbiamo quindi: $8*7*6*5*4 $ combinazioni, e siccome l'ordine delle palline nere non cambia, si deve dividere per $5*4*3*2*1$.
Alla fine il numero di possibilita' e' \[ \binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56 \]
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