Problema di Calcolo combinatorio

[banino84]

Un giocatore ha due mazzi di carte francesi identici. Dopo aver mescolato i mazzi estrae 5 carte e le dispone a faccia in su sul tavolo a formare una “mano”. Quante differenti mani, a prescindere dall’ordine con cui sono disposte le carte, possono essere formate?

Help!!!

[banino84]

Azzardo una risposta!

Prendo 52 carte -> quindi ho 50+2 , allora posso avere 10 mani con l'avanzo di 2 carte

quindi : $((10+5-1),(5))= 2002$

le carte avanzate sono 2 , quindi $((2+5-1),(5))= 6$

adesso inserisco le carte mancanti e moltiplico per i 2 mazzi $2002*6*2 =24024$ mani


cosa ne pensate?

[duombo]

io forse non ho capito bene la traccia che cosa chiede. io l'ho inteso come: ho 104 carte, con queste carte quante possibili "mani" da 5 posso formare? partendo sempre da 104 carte e quindi in questo caso direi che il numero di "mani" che posso avere è $ ( ( 104 ),(5) ) =\frac{104!}{5!(104-5)!}=\frac{104!}{5!*99!} $

in pratica il problema di questo genere di esercizi è l'interpretazione della traccia

e speriamo di averla interpretata bene

[onlyReferee]

Io la vedo come te, duombo, solo che a mio parere bisogna anche dividere per $2$ tutto il risultato per escludere appunto le coppie di due mani esattamente uguali che si possono verificare (poiché la stessa identica mano potrei estrarla con le carte di ambedue i mazzi).

[duombo]

quindi, onlyReferee secondo te andrebbe bene se facessi il calcolo basato su 52 carte e poi moltiplico per 2?

[superpippone]

1)Non si può fare il calcolo su un mazzo di 52 carte, e poi moltiplicare per 2.
Perchè usando due mazzi di carte si hanno delle combinazioni che con un mazzo solo non sono possibili.
Cioè potrei avere una o due coppie di carte uguali.
2) La formula $(104!)/(5!*99!)$ andrebbe bene se ci fossero 104 carte diverse, invece qui ci sono 52 carte ripetute due volte.
3) Non si può dividere per la formula precedente per 2. Perchè se avessi (ad esempio) 5 carte diverse (per valore facciale), ognuna di esse potrebbe provenire dal mazzo 1 o dal mazzo 2. Per cui dovrei dividere per 32. Ma se avessi ad esempio una coppia di carte uguali (sia per seme, che per valore) e tre carte diverse (per valore) dovrei dividere per 8.
4) Sulla base di queste considerazioni, ritengo il calcolo alquanto complesso. E non credo sia alla mia portata...

[onlyReferee]

"duombo":quindi, onlyReferee secondo te andrebbe bene se facessi il calcolo basato su 52 carte e poi moltiplico per 2?

No, non intendevo così...
Ogni modo alla luce delle considerazioni si superpippone a questo punto si sta prima a calcolare le mani uguali sottraendolo poi dal numero totale delle mani che si possono realizzare. E' una tecnica molto usata nel calcolo combinatorio quando calcolare direttamente il numero di esiti favorevoli all'esperimento diventa troppo complesso. Dovrei mettermi a fare due conti ma al momento sono di fretta.

[hyoukarou]

Premesso che nemmeno io sono molto ferrato in combinatoria, secondo me il problema si può risolvere dividendo per casi; in particolare dato che una carta si può ripetere al massimo due volte hai tre casi, zero doppioni, un doppione o due doppioni:

\(A B C D E\)
\(A A B C D\)
\(A A B B C\)

Ricordando che l'ordine non è importante, il primo caso si calcola facilmente come \(\displaystyle \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5!}\).
Gli altri due casi non sono più difficili del precedente, ma siccome non voglio toglierti il divertimento lascio a te il comando

P.S.
se non fosse ovvio, con le lettere indico carte generiche, a lettere uguali associo carte uguali, a lettere diverse carte diverse.