Problema di algebra modulare
Ciao a tutti,
qualcuno saprebbe per caso dirmi come si può risolvere un esercizio matematico di algebra modulare come questo?
In Z51 si determini se il polinomio X^33-X ha almeno tante radici quanto il suo grado.
Mi piacerebbe sapere come devo procedere in questo tipo di problemi.
Grazie..
qualcuno saprebbe per caso dirmi come si può risolvere un esercizio matematico di algebra modulare come questo?
In Z51 si determini se il polinomio X^33-X ha almeno tante radici quanto il suo grado.
Mi piacerebbe sapere come devo procedere in questo tipo di problemi.
Grazie..
Risposte
Prima osservare che $51=3\times 17$, poi determinare
gli zeri del polinomio $X^{33}-X$ nei campi $ZZ_3$ e $ZZ_{17}$
e poi applicare il teorema cinese del resto per contare gli zeri in $ZZ_{51}$.
gli zeri del polinomio $X^{33}-X$ nei campi $ZZ_3$ e $ZZ_{17}$
e poi applicare il teorema cinese del resto per contare gli zeri in $ZZ_{51}$.
Io farei così:
$x^33-x-=0 \text{ mod51}$ intanto osserva che $0$ è soluzione e poi risolvi $x^32-=1$ e qui diventa tutto molto più semplice.
Perché $32=2*16=\Phi(3)*\Phi(17)$ che sono rispettivamente gli ordini dei gruppi ciclici $((ZZ)/(3ZZ))^**$ e $((ZZ)/(17ZZ))^**$.
Sai che l'ordine degli elementi deve dividere l'ordine del gruppo quindi ogni $x!=0$ andrà bene.
Unendo le soluzioni hai che ogni $x$ risolve.
$x^33-x-=0 \text{ mod51}$ intanto osserva che $0$ è soluzione e poi risolvi $x^32-=1$ e qui diventa tutto molto più semplice.
Perché $32=2*16=\Phi(3)*\Phi(17)$ che sono rispettivamente gli ordini dei gruppi ciclici $((ZZ)/(3ZZ))^**$ e $((ZZ)/(17ZZ))^**$.
Sai che l'ordine degli elementi deve dividere l'ordine del gruppo quindi ogni $x!=0$ andrà bene.
Unendo le soluzioni hai che ogni $x$ risolve.
Scusa non capisco cosa intendi con ordine degli elementi. Potresti farmi un esempio?
Intendo l'ordine moltiplicativo di $a$ o ordine del sottogruppo generato dall'elemento $a$ con l'operazione di moltiplicazione, mi spiego meglio:
Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.
Allora i sottogruppi di $(ZZ)/(3ZZ)$ saranno cicilici e quindi avranno un'ordine. Nel nostro caso $|<1>|=1$ e $|<2>|=2$ (dove per $$ intendo sgr generato da $a$)
o molto più intuitivamente $2^1-=2$ $mod$ $3$ e $2^2-=4-=1$ $mod$ $3$
Un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.
Allora i sottogruppi di $(ZZ)/(3ZZ)$ saranno cicilici e quindi avranno un'ordine. Nel nostro caso $|<1>|=1$ e $|<2>|=2$ (dove per $$ intendo sgr generato da $a$)
o molto più intuitivamente $2^1-=2$ $mod$ $3$ e $2^2-=4-=1$ $mod$ $3$
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