Problema con le congruenze

[Dezzo93_it]

Ciao a tutti..
Sempre il solito professore mi ha dato da fare per domani anche il seguente problema:

Dimostrare che \(\displaystyle 3^{{{105}}}+4^{{{105}}} \) è divisibile per \(\displaystyle 7, 13, 49, 181, 379 \) ma non per \(\displaystyle 5 \) e per \(\displaystyle 11 \).

Per i primi 3 e gli ultimi due ho ragionato con le congruenze, tipo:

Divisibile per 7: \(\displaystyle 3^{{{105}}}+4^{{{105}}} ≡0 (mod7)\)
\(\displaystyle 3^{{{105}}}+4^{{{105}}} = (3^5)^{{{21}}}+(4^5)^{{{21}}} ≡ (-2)^{{{21}}}+(2)^{{{21}}} ≡ 0 (mod7) \)


Per dimostrare però che è divisibile per \(\displaystyle 181 \)e \(\displaystyle 379 \)c'è qualche altro metodo che non conosco? (le congruenze me le ha solo accennate dicendo che è il resto della divisione intera).. In internet ho già visto che il problema è risolto con la scomposizione in fattori, ma a me interessava sapere anche se c'è qualche proprietà delle congruenze che non conosco e che mi potrebbe tornare utile... (già nel dimostrarlo per \(\displaystyle 49 \) che è \(\displaystyle 7^2 \) mi era venuto qualche dubbio...magari ci fosse una via più veloce!!!

[giammaria2]

[xdom="giammaria"]Sposto in Algebra, Logica, Teoria dei numeri ...[/xdom]

[Kashaman]

Esiste questo teorema.
Che prende il nome di Eulero fermat.
$Sia a in ZZ , n in ZZ$ . Allora $AA a in ZZ , a!=0, (a,n)=1 : a^f(n)-=1(modn)$ ove $f(n)$ è la funzione di eulero.
e la notazione $(,)$ indica il massimo comune divisore di due interi