Problema con le applicazioni dall'insieme vuoto
Sono una new entry del sito e perciò mi scuso per errori di sintassi. Il mio problema è sorto leggendo algebra e matematica discreta di Alberto Facchini:
Un'applicazione f: O/ -> A con A != O/ manda l'inisme vuoto nell'insieme vuoto?oppure è possibile che f(O/)={b}?
Un'applicazione f: O/ -> A con A != O/ manda l'inisme vuoto nell'insieme vuoto?oppure è possibile che f(O/)={b}?
Risposte
Ciao e bentrovato, ti invito a leggere come inserire le formule qui e detto questo passiamo all'esercizio.
Cosa non ti batte nella assegnazione? Per quale ragione non si potrebbe fare [tex]f:\emptyset \to A[/tex] tale che [tex]f(\emptyset):=\{a\}[/tex]?
Se ti ricordi la definizione della funzione sono un insieme di partenza detto dominio (in questo caso [tex]\emptyset[/tex] è un insieme, un insieme di arrivo detto codominio e una legge che associa elementi del primo insieme con elementi del secondo insieme, pensaci un poco e probabilmente ti risponderai da solo
Cosa non ti batte nella assegnazione? Per quale ragione non si potrebbe fare [tex]f:\emptyset \to A[/tex] tale che [tex]f(\emptyset):=\{a\}[/tex]?
Se ti ricordi la definizione della funzione sono un insieme di partenza detto dominio (in questo caso [tex]\emptyset[/tex] è un insieme, un insieme di arrivo detto codominio e una legge che associa elementi del primo insieme con elementi del secondo insieme, pensaci un poco e probabilmente ti risponderai da solo
L'unica possibile funzione [tex]f:\emptyset \to A[/tex] è l'insieme vuoto. Infatti prima di tutto una tale funzione dev'essere un sottoinsieme di [tex]\emptyset \times A = \emptyset[/tex], e poi uno verifica che [tex]\emptyset[/tex] è effettivamente una funzione [tex]\emptyset \to A[/tex].
Invece non esistono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex].
Invece non esistono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex].
Forse meritava che la stessa tua considerazione nascesse nella sua mente! 
Lord K: anch'io la penso come te, ma avevo paura che venisse confuso da questa tua domanda/affermazione:
"Lord K":che sembrerebbe affermare che una funzione definita sull'insieme vuoto possa avere un'immagine non vuota (sempre che [tex]f(\emptyset)[/tex] voglia dire "l'immagine di [tex]f[/tex]").
Per quale ragione non si potrebbe fare [tex]f:\emptyset \to A[/tex] tale che [tex]f(\emptyset):=\{a\}[/tex]?
Perché $f : \emptyset \to A$ è una funzione? Quando si dà la definizione di funzione non è forse richiesto che entrambi gli insiemi (di partenza e di arrivo) siano non vuoti?
Sono d'accordo che ogni funzione è una particolare relazione fra insiemi e quindi un sottoinsieme del prodotto cartesiano, però mi pare che per le funzioni sia esplicitamente richiesto che i due insiemi siano non vuoti. Mi sbaglio?
Sono d'accordo che ogni funzione è una particolare relazione fra insiemi e quindi un sottoinsieme del prodotto cartesiano, però mi pare che per le funzioni sia esplicitamente richiesto che i due insiemi siano non vuoti. Mi sbaglio?
"Angelo":Dati due insiemi A e B, una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A xx B$ tale che:
Perché $f : \emptyset \to A$ è una funzione?
1) per ogni $a in A$ esiste $b in B$ tale che $(a,b) in f$;
2) se $(a,b) in f$ e $(a,c) in f$ allora $b=c$.
In particolare, da (1) segue che se $B$ è vuoto, allora $A$ dev'essere vuoto.
Se $A$ è vuoto allora poiché $A xx B=emptyset$, $f$ deve essere l'insieme vuoto, e non abbiamo problemi perché (1) e (2) sono soddisfatte (indipendentemente da $B$).
Sono d'accordo che una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxxB$, e sono d'accordo con la definizione di funzione che hai appena dato, tuttavia a me pare che nel caso di una funzione si richieda esplicitamente che entrambi gli insiemi $A$ e $B$ non siano vuoti.
In altre parole, mi sembra che la definizione di funzione sia la seguente:
Dati due insiemi A e B non vuoti, una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxxB$ tale che:
1) per ogni $a in A$ esiste $b in B$ tale che $(a,b) in f$;
2) se $(a,b) in f$ e $(a,c) in f$ allora $b=c$ .
Se mi sbaglio, accetto correzioni.
In altre parole, mi sembra che la definizione di funzione sia la seguente:
Dati due insiemi A e B non vuoti, una funzione $f:A to B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $AxxB$ tale che:
1) per ogni $a in A$ esiste $b in B$ tale che $(a,b) in f$;
2) se $(a,b) in f$ e $(a,c) in f$ allora $b=c$ .
Se mi sbaglio, accetto correzioni.
Direi che ognuno può avere la sua definizione di funzione. Io ho sempre permesso a dominio e/o codominio di essere vuoti. Questo torna comodo in alcuni frangenti, per esempio uno definisce il prodotto cartesiano della famiglia di insiemi [tex](A_i)_{i \in I}[/tex] come
[tex]\prod_{i \in I} A_i := \{f:I \to \bigcup_{i \in I} A_i\ |\ f(i) \in A_i\ \forall i \in I\}[/tex].
E' utile pensare a un elemento [tex]f[/tex] di tale prodotto come alla [tex]I[/tex]-upla [tex](f(i))_{i \in I}[/tex]. E torna utile osservare che con questa definizione si ha [tex]\prod_{i \in \emptyset} A_i = \{\emptyset\}[/tex] (che è anche un'uguaglianza curiosa). Non c'è ragione di escludere che esista il prodotto indiciato sul vuoto (per lo stesso motivo non c'è ragione di escludere che si possa elevare un numero alla zero).
Questo per ragioni di "compatibilità": in teoria delle categorie la categoria degli insiemi ammette tipicamente il vuoto come oggetto iniziale (cfr. qui), e questo naturalmente perché si permette al dominio di essere vuoto. Questa "permissione", per fare un altro esempio, serve anche per interpretare oggetti iniziali come limiti proiettivi sul vuoto e oggetti terminali come limiti induttivi sul vuoto.
Inoltre denotato con [tex]B^A[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]A \to B[/tex], l'uguaglianza [tex]|B^A|=|B|^{|A|}[/tex] rimane vera se uno tra A e B è vuoto, essendo [tex]|\emptyset^A|=0[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex] (cioè, non ci sono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se A è non vuoto) e [tex]|B^{\emptyset}|=1[/tex] (cioè, c'è un'unica funzione [tex]\emptyset \to B[/tex]). Secondo questa logica l'unica uguaglianza scomoda è [tex]0^0=1[/tex], ma finché assumere questo non è contraddittorio, possiamo farlo (limitatamente all'algebra, per evitare di scandalizzarsi
).
[tex]\prod_{i \in I} A_i := \{f:I \to \bigcup_{i \in I} A_i\ |\ f(i) \in A_i\ \forall i \in I\}[/tex].
E' utile pensare a un elemento [tex]f[/tex] di tale prodotto come alla [tex]I[/tex]-upla [tex](f(i))_{i \in I}[/tex]. E torna utile osservare che con questa definizione si ha [tex]\prod_{i \in \emptyset} A_i = \{\emptyset\}[/tex] (che è anche un'uguaglianza curiosa). Non c'è ragione di escludere che esista il prodotto indiciato sul vuoto (per lo stesso motivo non c'è ragione di escludere che si possa elevare un numero alla zero).
Questo per ragioni di "compatibilità": in teoria delle categorie la categoria degli insiemi ammette tipicamente il vuoto come oggetto iniziale (cfr. qui), e questo naturalmente perché si permette al dominio di essere vuoto. Questa "permissione", per fare un altro esempio, serve anche per interpretare oggetti iniziali come limiti proiettivi sul vuoto e oggetti terminali come limiti induttivi sul vuoto.
Inoltre denotato con [tex]B^A[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]A \to B[/tex], l'uguaglianza [tex]|B^A|=|B|^{|A|}[/tex] rimane vera se uno tra A e B è vuoto, essendo [tex]|\emptyset^A|=0[/tex] se [tex]A \neq \emptyset[/tex] (cioè, non ci sono funzioni [tex]A \to \emptyset[/tex] se A è non vuoto) e [tex]|B^{\emptyset}|=1[/tex] (cioè, c'è un'unica funzione [tex]\emptyset \to B[/tex]). Secondo questa logica l'unica uguaglianza scomoda è [tex]0^0=1[/tex], ma finché assumere questo non è contraddittorio, possiamo farlo (limitatamente all'algebra, per evitare di scandalizzarsi
).
Ti ringrazio, sei stato chiarissimo.
Mi hai fatto ricordare certe discordanze di idee presenti anche tra matematici circa l'opportunità di dare significato o meno alla scrittura $0^0$. Io ho incontrato nella mia vita varie persone che difendevano l'uguaglianza $0^0=1$ a spada tratta, io invece credo che $0^0$ sia un'espressione alla quale non si debba attribuire un risultato, così come non si da un risultato a $0/0$.
Li considero entrambe due forme indeterminate.
Cosa pensi al riguardo?
Mi hai fatto ricordare certe discordanze di idee presenti anche tra matematici circa l'opportunità di dare significato o meno alla scrittura $0^0$. Io ho incontrato nella mia vita varie persone che difendevano l'uguaglianza $0^0=1$ a spada tratta, io invece credo che $0^0$ sia un'espressione alla quale non si debba attribuire un risultato, così come non si da un risultato a $0/0$.
Li considero entrambe due forme indeterminate.
Cosa pensi al riguardo?
"Angelo":Io distinguerei tra l'algebra e l'analisi. Spesso in algebra è utile per compatibilità di convenzioni porre [tex]0^0=1[/tex]. In analisi invece questo può entrare in conflitto con la nozione di "forma indeterminata" per i limiti (che comunque è solo una convenzione di scrittura) e quindi in analisi si preferisce privare [tex]0^0[/tex] di un significato.
Io ho incontrato nella mia vita varie persone che difendevano l'uguaglianza $0^0=1$ a spada tratta, io invece credo che $0^0$ sia un'espressione alla quale non si debba attribuire un risultato, così come non si da un risultato a $0/0$.
Li considero entrambe due forme indeterminate.
Cosa pensi al riguardo?
Comunque, se n'è parlato ampiamente sul forum (penso qui per la prima volta).
Hai ragione, in algebra è utile porre per convenzione $0^0=1$ e questo avviene perchè in algebra la maggior parte delle formule è di tipo polinomiale (per esempio la formula del binomio di Newton) e quindi tali formule si possono estendere per continuità anche al caso in cui le indeterminate assumano il valore $0$.
Invece in Analisi Matematica le uguaglianze contengono spesso funzioni trascendenti ed estenderne la validità a $x=0$ dà luogo spesso ad incoerenze e problemi.
Faccio un esempio:
$f(x) ={ ( 0, text{se}, x=0),( 5/(log(x^2/(x^2+1))), text{ per ogni }, x in RR\\{0}):}$
La funzione $f(x)$ è definita e continua in $RR$.
Inoltre la formula,
$(x^2/(x^2+1))^f(x)=e^5$,
valida per ogni $x in RR\\{0}$, non può assolutamente essere estesa a $x=0$ ponendo $0^0=1$, si avrebbe infatti,
$0^f(0)=e^5$,
$0^0=e^5$,
$1=e^5$,
che è evidentemente un'uguaglianza falsa.
Invece in Analisi Matematica le uguaglianze contengono spesso funzioni trascendenti ed estenderne la validità a $x=0$ dà luogo spesso ad incoerenze e problemi.
Faccio un esempio:
$f(x) ={ ( 0, text{se}, x=0),( 5/(log(x^2/(x^2+1))), text{ per ogni }, x in RR\\{0}):}$
La funzione $f(x)$ è definita e continua in $RR$.
Inoltre la formula,
$(x^2/(x^2+1))^f(x)=e^5$,
valida per ogni $x in RR\\{0}$, non può assolutamente essere estesa a $x=0$ ponendo $0^0=1$, si avrebbe infatti,
$0^f(0)=e^5$,
$0^0=e^5$,
$1=e^5$,
che è evidentemente un'uguaglianza falsa.
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