Problema con identità di bezout
Ciao a tutti, oggi cercando di fare un esercizio non sono riuscito a venirne fuori, premetto che non è il primo di questo tipo che faccio e che già avevo cercato sul forum per trovare dei suggerimenti.
Dalla teoria sappiamo che il termine a sinistra dell'uguale è l'MCD dei due polinomi. Quindi la domanda diventa
"i due polinomi $u=x^4+1$ e $v=x^3-1$ hanno MCD=1 ?"
Per trovare l'MCD bisogna procedere con l'algoritmo euclideo, a meno che i polinomi non si possano scomporre e ci sia un termine in comune.
Ora, ho subito notato che $u$ è una somma di termini al quarto grado e quindi si può scomporre, mentre $v$ è una differenza di cubi e quindi anch'esso si può scomporre. Tuttavia dopo aver scomposto si nota che non ci sono termini in comune (e già qua mi verrebbe da pensare che l'MCD sia 1, ma comunque procedo).
Mi è venuto poi il dubbio se l'algoritmo euclideo si possa utilizzare o meno con polinomi riducibili, ma non mi pare ci siano ipotesi del genere. Dunque procedo applicandolo finchè non esce resto 0, e mi è uscito che:
1° divisione: $x^4+1=x*(x^3-1)+x+1$
2° divisione: $x^3-1=(x^2-x+1)*(x+1)-2$
3° divisione: $x+1=-x/2*(-2)+1$ (che è proprio $x+1$)
4° divisione: $-2=-2+0$
Ho trovato resto 0, dunque il penultimo resto è l'MCD tra i due polinomi, e tale resto è $1$.
Per verificare il tutto ho poi deciso di svolgere l'algoritmo al contrario per trovare i polinomi $f,g$.
Sostituendo e svolgendo i calcoli mi è uscito che:
$1=(-x^3/2+x^2/2-x/2+1)*(x^4+1)+(x^4/2+x/2-1)*(x^3−1)$
Ma mi è sembrato strano che $g$ avesse grado maggiore di $v$.
Allora ho moltiplicato $f*u$ e $g*v$ per vedere se il primo prodotto risultava 0 e il secondo risultava 1.
Il primo prodotto ho messo 0 in quanto è presente $x^4+1$ anche se non ho capito perchè (avevo letto di fare così in un altra discussione, precisamente questa elemento-inverso-in-un-anello-quoziente-di-polinomi-help-t62189.html in cui nell'ultima riga della prima risposta, maurer scrive $3*(x^2+x+2)+1=1$) e se qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo ne sarei grato.
Svolgendo però il secondo prodotto, dopo riscritture e sostituzioni (non so quanto lecite), mi esce $x^2-2x+3$ e non riesco ad andare avanti.
Qualcuno riesce a vedere dove sbaglio?
In $QQ[x]$ esistono due polinomi $f,g$ tali che $1=f*(x^4+1)+g*(x^3−1)$ ?
Dalla teoria sappiamo che il termine a sinistra dell'uguale è l'MCD dei due polinomi. Quindi la domanda diventa
"i due polinomi $u=x^4+1$ e $v=x^3-1$ hanno MCD=1 ?"
Per trovare l'MCD bisogna procedere con l'algoritmo euclideo, a meno che i polinomi non si possano scomporre e ci sia un termine in comune.
Ora, ho subito notato che $u$ è una somma di termini al quarto grado e quindi si può scomporre, mentre $v$ è una differenza di cubi e quindi anch'esso si può scomporre. Tuttavia dopo aver scomposto si nota che non ci sono termini in comune (e già qua mi verrebbe da pensare che l'MCD sia 1, ma comunque procedo).
Mi è venuto poi il dubbio se l'algoritmo euclideo si possa utilizzare o meno con polinomi riducibili, ma non mi pare ci siano ipotesi del genere. Dunque procedo applicandolo finchè non esce resto 0, e mi è uscito che:
1° divisione: $x^4+1=x*(x^3-1)+x+1$
2° divisione: $x^3-1=(x^2-x+1)*(x+1)-2$
3° divisione: $x+1=-x/2*(-2)+1$ (che è proprio $x+1$)
4° divisione: $-2=-2+0$
Ho trovato resto 0, dunque il penultimo resto è l'MCD tra i due polinomi, e tale resto è $1$.
Per verificare il tutto ho poi deciso di svolgere l'algoritmo al contrario per trovare i polinomi $f,g$.
Sostituendo e svolgendo i calcoli mi è uscito che:
$1=(-x^3/2+x^2/2-x/2+1)*(x^4+1)+(x^4/2+x/2-1)*(x^3−1)$
Ma mi è sembrato strano che $g$ avesse grado maggiore di $v$.
Allora ho moltiplicato $f*u$ e $g*v$ per vedere se il primo prodotto risultava 0 e il secondo risultava 1.
Il primo prodotto ho messo 0 in quanto è presente $x^4+1$ anche se non ho capito perchè (avevo letto di fare così in un altra discussione, precisamente questa elemento-inverso-in-un-anello-quoziente-di-polinomi-help-t62189.html in cui nell'ultima riga della prima risposta, maurer scrive $3*(x^2+x+2)+1=1$) e se qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo ne sarei grato.
Svolgendo però il secondo prodotto, dopo riscritture e sostituzioni (non so quanto lecite), mi esce $x^2-2x+3$ e non riesco ad andare avanti.
Qualcuno riesce a vedere dove sbaglio?
Risposte
Ciao,
Le divisioni mi sembrano corrette, ma hai sbagliato i calcoli quando risali per trovare i coefficienti di Bezout.
Tu sai che:
$x+1 = x^4 + 1 - x(x^3 - 1)$
$-2 = x^3 - 1 - (x+1)(x^2 - x +1)$
$1 = x+1 + (-2)\frac{x}{2}$
quindi: $1 = (x+1) + (-2)\frac{x}{2}= 1 = x+1 + (x^3-1 - (x+1)(x^2 - x +1))\frac{x}{2} = (x+1)(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + \frac{x}{2}(x^3 - 1) = (x^4 + 1 - x(x^3 - 1))(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + \frac{x}{2}(x^3 - 1) = (x^4 + 1)(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + (x^3-1)( \frac{x}{2} - x +\frac{x^2}{2}(x^2 - x +1)) = (x^4 + 1)(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} +1) + (x^3 - 1)(\frac{x^4}{2} - \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}$
Quindi ricapitolando: $(x^4 + 1)(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} +1) + (x^3 - 1)(\frac{x^4}{2} - \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}) =1$.
Inoltre osserva che le costanti sono invertibili quando ti trovi in un anello $\mathbb{K}[x]$ dove $\mathbb{K}$ è un campo, quindi puoi fermare l'algoritmo appena trovi un resto costante e diverso da $0$.
Nel nostro caso potevi fermarti alla seconda divisione, la quale ci dice che:
$x^3 - 1 - (x+1)(x^2 - x +1) = - 2$, dalla prima divisione sai che $(x + 1) = x^4 + 1 - x(x^3 - 1)$ e sostituendo nella precedente uguaglianza hai che:
$x^3 - 1 -(x^4 + 1 - x(x^3 - 1))(x^2 - x + 1) = -2 \iff (x^3 - 1)(1 +x(x^2 - x + 1) - (x^4 + 1)(x^2 - x + 1) = -2$
dato che $-2$ è invertibile in $\mathbb{Q}[x]$ puoi moltiplicare ambo i membri per $-1/2$ ottenendo:
$-1/2(x^3 - 1)(1 +x(x^2 - x + 1)) +1/2(x^4 + 1)(x^2 - x + 1) = 1$
Per quanto riguarda la seconda parte del post:
non ho capito cosa hai fatto: perché $f*u$ deve fare $0$ e $g*v$ $1$? Siamo in $\mathbb{Q}[x]$ non nel quoziente $\mathbb{Q}[x]//(x^4 + 1)$, per verificare bezout in $\mathbb{Q}[x]$ basta fare i calcoli con le normali operazioni di somma e prodotto, senza imporre un termine uguale a $0$ e l'altro uguale a $1$.
Adesso passiamo all'altra domanda, che dovrebbe essere questa: perché in $\mathbb{Q}[x]//(f)$ i termini del tipo $f*k$ sono nulli?
Perché nel quoziente l'elemento neutro rispetto alla somma, cioè lo $0$, è proprio la classe di equivalenza $(f)$, quindi se $s(x) \in (f)$ allora nel quoziente la classe di $s(x)$ coincide con $(f)$ e quindi è nulla. $f*k \in (f)$ poiché $f \in (f)$ e $(f)$ è un ideale, di conseguenza "assorbe" qualsiasi polinomio moltiplicato per $f$ o che abbia come fattore $f$.
Le divisioni mi sembrano corrette, ma hai sbagliato i calcoli quando risali per trovare i coefficienti di Bezout.
Tu sai che:
$x+1 = x^4 + 1 - x(x^3 - 1)$
$-2 = x^3 - 1 - (x+1)(x^2 - x +1)$
$1 = x+1 + (-2)\frac{x}{2}$
quindi: $1 = (x+1) + (-2)\frac{x}{2}= 1 = x+1 + (x^3-1 - (x+1)(x^2 - x +1))\frac{x}{2} = (x+1)(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + \frac{x}{2}(x^3 - 1) = (x^4 + 1 - x(x^3 - 1))(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + \frac{x}{2}(x^3 - 1) = (x^4 + 1)(1 - \frac{x}{2}(x^2 - x +1)) + (x^3-1)( \frac{x}{2} - x +\frac{x^2}{2}(x^2 - x +1)) = (x^4 + 1)(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} +1) + (x^3 - 1)(\frac{x^4}{2} - \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}$
Quindi ricapitolando: $(x^4 + 1)(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2} +1) + (x^3 - 1)(\frac{x^4}{2} - \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}) =1$.
Inoltre osserva che le costanti sono invertibili quando ti trovi in un anello $\mathbb{K}[x]$ dove $\mathbb{K}$ è un campo, quindi puoi fermare l'algoritmo appena trovi un resto costante e diverso da $0$.
Nel nostro caso potevi fermarti alla seconda divisione, la quale ci dice che:
$x^3 - 1 - (x+1)(x^2 - x +1) = - 2$, dalla prima divisione sai che $(x + 1) = x^4 + 1 - x(x^3 - 1)$ e sostituendo nella precedente uguaglianza hai che:
$x^3 - 1 -(x^4 + 1 - x(x^3 - 1))(x^2 - x + 1) = -2 \iff (x^3 - 1)(1 +x(x^2 - x + 1) - (x^4 + 1)(x^2 - x + 1) = -2$
dato che $-2$ è invertibile in $\mathbb{Q}[x]$ puoi moltiplicare ambo i membri per $-1/2$ ottenendo:
$-1/2(x^3 - 1)(1 +x(x^2 - x + 1)) +1/2(x^4 + 1)(x^2 - x + 1) = 1$
Per quanto riguarda la seconda parte del post:
"Rabelais":
Ma mi è sembrato strano che g avesse grado maggiore di v.
Allora ho moltiplicato f⋅u e g⋅v per vedere se il primo prodotto risultava 0 e il secondo risultava 1.
Il primo prodotto ho messo 0 in quanto è presente x4+1 anche se non ho capito perchè (avevo letto di fare così in un altra discussione, precisamente questa elemento-inverso-in-un-anello-quoziente-di-polinomi-help-t62189.html in cui nell'ultima riga della prima risposta, maurer scrive 3⋅(x2+x+2)+1=1) e se qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo ne sarei grato.
Svolgendo però il secondo prodotto, dopo riscritture e sostituzioni (non so quanto lecite), mi esce x2−2x+3 e non riesco ad andare avanti.
Qualcuno riesce a vedere dove sbaglio?
non ho capito cosa hai fatto: perché $f*u$ deve fare $0$ e $g*v$ $1$? Siamo in $\mathbb{Q}[x]$ non nel quoziente $\mathbb{Q}[x]//(x^4 + 1)$, per verificare bezout in $\mathbb{Q}[x]$ basta fare i calcoli con le normali operazioni di somma e prodotto, senza imporre un termine uguale a $0$ e l'altro uguale a $1$.
Adesso passiamo all'altra domanda, che dovrebbe essere questa: perché in $\mathbb{Q}[x]//(f)$ i termini del tipo $f*k$ sono nulli?
Perché nel quoziente l'elemento neutro rispetto alla somma, cioè lo $0$, è proprio la classe di equivalenza $(f)$, quindi se $s(x) \in (f)$ allora nel quoziente la classe di $s(x)$ coincide con $(f)$ e quindi è nulla. $f*k \in (f)$ poiché $f \in (f)$ e $(f)$ è un ideale, di conseguenza "assorbe" qualsiasi polinomio moltiplicato per $f$ o che abbia come fattore $f$.
Ciao Shocker grazie anche di questa risposta e della pazienza!
Grazie intanto per la delucidazione sulla classe di equivalenza $(f)$ che è elemento neutro e quindi i termini $f*k$ sono nulli, ora mi è chiaro!
Poi, io pensavo che $g*v$ fosse $1$ in quanto $g$ è l'inverso di $v$ quindi il loro prodotto fa $1$. Dunque l'altro prodotto $f*u$ pensavo dovesse fare $0$ poiché $g*v + f*u = 1$ e quindi se il primo termine è $1$, affinché la somma faccia $1$ deve essere che l'altro $f*u = 0$.
Con le divisioni sono andato avanti fino a trovare resto $0$ poiché so che se l'ultimo resto è $0$ allora il penultimo resto è l'MCD tra i due polinomi, e dato che l'esercizio chiede se esistono due polinomi tale che sia verificata quella identità di bezout, allora l'MCD deve essere per forza di cose $1$ in quanto l'$1$ della identità di bezout è l'MCD dei due polinomi. Dunque se trovavo che l'MCD era diverso da $1$ allora avrei potuto subito dire che i due polinomi non esistevano.
Grazie intanto per la delucidazione sulla classe di equivalenza $(f)$ che è elemento neutro e quindi i termini $f*k$ sono nulli, ora mi è chiaro!
Poi, io pensavo che $g*v$ fosse $1$ in quanto $g$ è l'inverso di $v$ quindi il loro prodotto fa $1$. Dunque l'altro prodotto $f*u$ pensavo dovesse fare $0$ poiché $g*v + f*u = 1$ e quindi se il primo termine è $1$, affinché la somma faccia $1$ deve essere che l'altro $f*u = 0$.
Con le divisioni sono andato avanti fino a trovare resto $0$ poiché so che se l'ultimo resto è $0$ allora il penultimo resto è l'MCD tra i due polinomi, e dato che l'esercizio chiede se esistono due polinomi tale che sia verificata quella identità di bezout, allora l'MCD deve essere per forza di cose $1$ in quanto l'$1$ della identità di bezout è l'MCD dei due polinomi. Dunque se trovavo che l'MCD era diverso da $1$ allora avrei potuto subito dire che i due polinomi non esistevano.
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