Problema con gli interi di Gauss
Buonasera a tutti.
Ho qualche problema con gli interi di gauss, non riesco a maneggiarli bene usando gli strumenti che già conosco sugli interi.
Per esempio, se devo trovare l'MCD tra 2 interi di gauss la logica mi direbbe di usare il solito algoritmo di Euclide considerando però di volta in volta non il resto bensì la sua norma. Spero che fin qui il ragionamento sia corretto.
Poi però mi sembra che i conti siano ogni volta troppo lunghi e mi sorge il dubbio che ci sia qualche metodo che non conosco...
Per esempio se dovessi trovare l'MCD tra $ (2+i) $ e $ (-1+5i) $ io farei:
$ |(-1+5i)| = 26 $
$ |(2+i)| = 5 $
e quindi $ (-1+5i) = (2+i)(a+bi) + (c+di) $ con $ a,b,c,d in ZZ $ e $ |(c+di)|<5 $
Poi svolgerei $ (-1+5i) = (2a-b+c) + (2b+a+d)i $ e porrei
$ (2a-b+c) = -1 $
$ (2b+a+d) = 5 $
$ (c)^(2)+(d)^(2) < 5 $
però questo comporta considerare le possibili coppie (c,d), sostituirle e controllare che verifichi e ciò per ogni passaggio dell'Algoritmo...
E' proprio così o qualcuno sa suggerirmi altro?
Grazie mille!
Ho qualche problema con gli interi di gauss, non riesco a maneggiarli bene usando gli strumenti che già conosco sugli interi.
Per esempio, se devo trovare l'MCD tra 2 interi di gauss la logica mi direbbe di usare il solito algoritmo di Euclide considerando però di volta in volta non il resto bensì la sua norma. Spero che fin qui il ragionamento sia corretto.
Poi però mi sembra che i conti siano ogni volta troppo lunghi e mi sorge il dubbio che ci sia qualche metodo che non conosco...
Per esempio se dovessi trovare l'MCD tra $ (2+i) $ e $ (-1+5i) $ io farei:
$ |(-1+5i)| = 26 $
$ |(2+i)| = 5 $
e quindi $ (-1+5i) = (2+i)(a+bi) + (c+di) $ con $ a,b,c,d in ZZ $ e $ |(c+di)|<5 $
Poi svolgerei $ (-1+5i) = (2a-b+c) + (2b+a+d)i $ e porrei
$ (2a-b+c) = -1 $
$ (2b+a+d) = 5 $
$ (c)^(2)+(d)^(2) < 5 $
però questo comporta considerare le possibili coppie (c,d), sostituirle e controllare che verifichi e ciò per ogni passaggio dell'Algoritmo...
E' proprio così o qualcuno sa suggerirmi altro?
Grazie mille!
Risposte
forse non lo sai, ma c'è una caratterizzazione degli elementi primi ( e quindi irriducibili) nell'anello (euclideo) degli interi di Gauss.
in particolare [tex]$2+i$[/tex]è primo, quindi nel caso specifico ti basta vedere se [tex]$(2+i) \mid (-1+5i)$[/tex] o meno.
Ma ancora più semplice è vedere che la norma è moltiplicativa, quindi se [tex]$d$[/tex] divide entrambi nostri numeri, allora la sua norma deve dividere sia [tex]5$[/tex] che [tex]$21$[/tex].
Cosa ne dici?
in particolare [tex]$2+i$[/tex]è primo, quindi nel caso specifico ti basta vedere se [tex]$(2+i) \mid (-1+5i)$[/tex] o meno.
Ma ancora più semplice è vedere che la norma è moltiplicativa, quindi se [tex]$d$[/tex] divide entrambi nostri numeri, allora la sua norma deve dividere sia [tex]5$[/tex] che [tex]$21$[/tex].
Cosa ne dici?
Ah giusto, se non sbaglio è perchè la norma al quadrato di $ (2+i) $ è un primo di $ ZZ $ , giusto?
Ottima osservazione, non ci avevo proprio pensato! Quindi nel nostro caso siccome l'unico divisore comune a $5$ e $26$ è $1$, direi che posso considerare i divisori di norma $1$.
Una cosa soltanto... Tutto ciò è nato dal voler risolvere questa congruenza:
$ (2+i)x -= 4 (-1+5i) $
Siccome mi pare di vedere che i miei interi di gauss sono coprimi dovrebbe essere risolubile. Ora
$ (2+i)x + (-1+5i)t = 1 t intero di gauss
risolvo questa e moltiplico la x trovata per 4, come sempre giusto?
P.S. scusa il ritardo, ero al telefono...
Ottima osservazione, non ci avevo proprio pensato! Quindi nel nostro caso siccome l'unico divisore comune a $5$ e $26$ è $1$, direi che posso considerare i divisori di norma $1$.
Una cosa soltanto... Tutto ciò è nato dal voler risolvere questa congruenza:
$ (2+i)x -= 4 (-1+5i) $
Siccome mi pare di vedere che i miei interi di gauss sono coprimi dovrebbe essere risolubile. Ora
$ (2+i)x + (-1+5i)t = 1 t intero di gauss
risolvo questa e moltiplico la x trovata per 4, come sempre giusto?
P.S. scusa il ritardo, ero al telefono...
Chiedo scusa, intendevo t intero di gauss... 
Ma sì direi che funziona bene senza problemi. Ottimo!
Nota tecnica:
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ok, perfetto, grazie mille! 
Prego!
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