Problema con calcolo ranghi matrici associate a sistema coefficienti
Ragazzi, sto avendo dei problemi con il calcolo dei ranghi delle matrici associate ad un sistema a coefficienti. Vi spiego, il sitema è questo:
$3x + 2y + 2z + 2 = 2$
$6x +1 = 0$
$x + 6y - z = 1$
Le matrici associate (incompleta e completa) secondo i miei calcoli dovrebbero essere:
$A=((3,2,2,2),(6,0,0,1),(1,6,-1,0))$
$A^1=((3,2,2,2,2),(6,0,0,1,0),(1,6,-1,0,1))$
Ora, per il calcolo dei ranghi ho utilizzato il teorema degli orlati ma mi trovo con determinanti sempre diversi da 0, quindi mi trovo impossibilitato a calcolare il rango della matrice incompleta, magari ho sbagliato a stabilire il minore della matrice... ho provato sia con:
$((3,2),(6,0))$
che con:
$((0,1),(-1,0))$
Dove sbaglio?
$3x + 2y + 2z + 2 = 2$
$6x +1 = 0$
$x + 6y - z = 1$
Le matrici associate (incompleta e completa) secondo i miei calcoli dovrebbero essere:
$A=((3,2,2,2),(6,0,0,1),(1,6,-1,0))$
$A^1=((3,2,2,2,2),(6,0,0,1,0),(1,6,-1,0,1))$
Ora, per il calcolo dei ranghi ho utilizzato il teorema degli orlati ma mi trovo con determinanti sempre diversi da 0, quindi mi trovo impossibilitato a calcolare il rango della matrice incompleta, magari ho sbagliato a stabilire il minore della matrice... ho provato sia con:
$((3,2),(6,0))$
che con:
$((0,1),(-1,0))$
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao.
Domando scusa, forse non ho capito io bene la questione, ma non vedo che problema ci sia se il determinante di una matrice minore viene non nullo.
Semplicemente, se in una matrice $A$, come quella del tuo esempio, trovi un minore di ordine $2$ con determinante non nullo (come effettivamente accade), significa che $rkA>=2$.
Il problema, nel calcolo del rango di una matrice, semmai si presenterebbe se trovassi un determinante di una matrice minore pari a zero.
Saluti.
Domando scusa, forse non ho capito io bene la questione, ma non vedo che problema ci sia se il determinante di una matrice minore viene non nullo.
Semplicemente, se in una matrice $A$, come quella del tuo esempio, trovi un minore di ordine $2$ con determinante non nullo (come effettivamente accade), significa che $rkA>=2$.
Il problema, nel calcolo del rango di una matrice, semmai si presenterebbe se trovassi un determinante di una matrice minore pari a zero.
Saluti.
Qual è il miglior metodo per calcolare i ranghi delle matrici (in questo caso quello della matrice incompleta e matrice completa)? Io ho fatto così, correggimi se sbaglio: data la matrice $A$ sopra descritta, ho preso il minore della matrice (in questo caso $M=((3,2),(6,0))$ e ho calcolato il suo determinante che è risultato non nullo... fin qui tutto ok; Poi ho esaminato i determinanti dei minori orlati di ordine 3 ed almeno uno è risultato diverso da 0, quindi è da escludere che il rango della matrice è 2... ora dovrei esaminare gli orlati di ordine 4? Se si, come faccio se la matrice ha solo 3 righe?
Ciao.
La tua matrice ha tre righe e quattro colonne, quindi non può avere rango superiore a 3.
In generale, avendo una matrice $A in M(mxxn)$ (matrice a $m$ righe e $n$ colonne), vale:
$rkA<=min(m,n)$
Saluti.
La tua matrice ha tre righe e quattro colonne, quindi non può avere rango superiore a 3.
In generale, avendo una matrice $A in M(mxxn)$ (matrice a $m$ righe e $n$ colonne), vale:
$rkA<=min(m,n)$
Saluti.
Grazie mille, ora sto cominciando a capire... facendo i conti sembra quindi che entrambe le matrici abbiano rango uguale a 3. Puoi darmi gentilmente conferma che ho scritto bene le matrici associate al sistema lineare? Grazie.
...forse nel testo del sistema (prime due equazioni) manca la quarta incognita?
Se le prime due equazioni fossero
$ 3x + 2y + 2z + 2t = 2 $
$ 6x +t = 0 $
allora la matrice associata al sistema sarebbe esatta.
Saluti.
Se le prime due equazioni fossero
$ 3x + 2y + 2z + 2t = 2 $
$ 6x +t = 0 $
allora la matrice associata al sistema sarebbe esatta.
Saluti.
Ho controllato e non manca nulla purtroppo, così come ho scritto il sistema come avrei dovuto scrivere le matrici associate?
Ciao.
Se il sistema è proprio come l'hai riportato, allora la prima equazione
$ 3x + 2y + 2z + 2 = 2 $
diventa
$ 3x + 2y + 2z = 0 $
Quindi, indicando con $A$ la matrice dei coefficienti del sistema e con $b$ la colonna dei termini noti, avremmo:
$A=((3,2,2,0),(6,0,0,1),(1,6,-1,0))$ e $b=((0),(0),(1))$
Saluti.
Se il sistema è proprio come l'hai riportato, allora la prima equazione
$ 3x + 2y + 2z + 2 = 2 $
diventa
$ 3x + 2y + 2z = 0 $
Quindi, indicando con $A$ la matrice dei coefficienti del sistema e con $b$ la colonna dei termini noti, avremmo:
$A=((3,2,2,0),(6,0,0,1),(1,6,-1,0))$ e $b=((0),(0),(1))$
Saluti.
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