Problema classi di equivalenza
Ciao a tutti non riesco a venire a capo di questo esercizio:
Sia f una funzione dove f:Z->Z ed $ R sube ZxZ $ una Relazione cosi definita (n,m) $ in $ R sse n ed m entrami pari ed f(n)=f(m) oppure n ed m entrambi dispari.
Nel caso in cui f sia così definita:
f(n)=n+1 se n pari
f(n)=|n+1| se n dispari
determinare le classi di equivalenza di R.
Grazie e tutti in anticipo.
Sia f una funzione dove f:Z->Z ed $ R sube ZxZ $ una Relazione cosi definita (n,m) $ in $ R sse n ed m entrami pari ed f(n)=f(m) oppure n ed m entrambi dispari.
Nel caso in cui f sia così definita:
f(n)=n+1 se n pari
f(n)=|n+1| se n dispari
determinare le classi di equivalenza di R.
Grazie e tutti in anticipo.
Risposte
Dove ti blocchi? Come cominceresti?
Il problema è la funzione perchè se non ci fosse, in teoria, le classi di equivalenza sarebbero due quella dei numeri pari e quella dei numeri dispari, ma con la funzione non so come comportarmi.
Se osservi bene come sono fatte quelle funzioni, ti renderai conto che nel primo caso, quello con [tex]f(n)=n+1[/tex] hai che un pari è in relazione solo con se stesso, infatti se [tex]f(n)=f(m) \Rightarrow n+1=m+1 \Rightarrow n=m[/tex], quindi la funzione è come se non ci fosse e le classi di equivalenza sono tutti i pari (positivi e negativi).
Nel caso [tex][a]_R[/tex] con [tex]a[/tex] dispari hai che [tex]a \sim b \Rightarrow |a+1|=|b+1| \Rightarrow a=b \vee a=-b-2[/tex]
Nel caso [tex][a]_R[/tex] con [tex]a[/tex] dispari hai che [tex]a \sim b \Rightarrow |a+1|=|b+1| \Rightarrow a=b \vee a=-b-2[/tex]
Quindi le classi di equivalenza sono tutti i numeri pari, ognuno per se, e poi le due originate da a dispari, una quando i dispari sono uguali e l'altra quando $ a=-b-2 $.
Grazie della risposta.
Avrei un altra domanda se non è un problema:
riguarda ancora lo stesso esercizio, se conoscessi la relazione e solo l'esistenza della funzione e non la sua composizione, posso dire che $ R sube ker f $ e $ R=ker f $, in base alla definizione del ker f lo posso affermare per n ed m entrambi pari ma per la seconda parte della relazione quando n ed m dispari non so come muovermi.
Grazie.
Avrei un altra domanda se non è un problema:
riguarda ancora lo stesso esercizio, se conoscessi la relazione e solo l'esistenza della funzione e non la sua composizione, posso dire che $ R sube ker f $ e $ R=ker f $, in base alla definizione del ker f lo posso affermare per n ed m entrambi pari ma per la seconda parte della relazione quando n ed m dispari non so come muovermi.
Grazie.
Che intendi per nucleo o kernel di [tex]f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}[/tex]?
Nucleo di una funzione: una relazione def come $ (a1,a2) in ker f <=> f(a1) =f(a2) $.
Grazie della pazienza.
Grazie della pazienza.
Se ci pensi bene, se una relazione è esprimibile come una funzione, allora quella funzione può essere espressa come un nucleo di una funzione...
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