Problema applicazione di Zn
salve ragazzi mi date una mano con questo esercizio?? allora siano dati $n,m in Z$ dire quante sono le coppie di (m,n) tali che:
$\phi:Z12toZmXZn$ e $phi[x]12=([x]m,[x]n)$ risulti ben definita??
io ho pensato di vedere $Z12$ come prodotto diretto di $Z3XZ4$ e ho verificato che la funzione è ben definita in questo modo (anche se penso sia errato come metodo):
predo $[x]12=[y]12$ ed ho: $phi[x]12=([x]3,[x]4)$ e $phi[y]12=([y]3,[y]4)$ ma so che $y=x+12k$ quindi $phi[y]12=phi[x+12k]12=([x]3,[x]4)$ . Oltr al fatto che credo che il metodo da me utilizzato sia sbagliato...comunque poi ho notato che la stessa situazione si verifica con 2 e 6....quindi stando al mio svolgimento le coppie sarebbero 4 cio 3,4 e 4,3, 2,6 e 6,2....ma dato che il tutto non mi convince...datemi qualche idea per quest'esercizio
$\phi:Z12toZmXZn$ e $phi[x]12=([x]m,[x]n)$ risulti ben definita??
io ho pensato di vedere $Z12$ come prodotto diretto di $Z3XZ4$ e ho verificato che la funzione è ben definita in questo modo (anche se penso sia errato come metodo):
predo $[x]12=[y]12$ ed ho: $phi[x]12=([x]3,[x]4)$ e $phi[y]12=([y]3,[y]4)$ ma so che $y=x+12k$ quindi $phi[y]12=phi[x+12k]12=([x]3,[x]4)$ . Oltr al fatto che credo che il metodo da me utilizzato sia sbagliato...comunque poi ho notato che la stessa situazione si verifica con 2 e 6....quindi stando al mio svolgimento le coppie sarebbero 4 cio 3,4 e 4,3, 2,6 e 6,2....ma dato che il tutto non mi convince...datemi qualche idea per quest'esercizio
Risposte
ragazzi qualcuno mi può dare una mano per questo esercizio??? vi ringrazio in anticipo
La tua applicazione è definita così (se ho capito bene): [tex]\varphi : \mathbb{Z}_{12}\longrightarrow \mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_n\;\;\; \text{tale che}\;\;\; \varphi(x+12\mathbb{Z})=(x+n\mathbb{Z}, x+m\mathbb{Z}).[/tex] Domanda: conosci il Teorema cinese del resto?
si se tu per per $ ZZ $ intendi un $k in ZZ$ e comunque anche alla seconda domanda la risposta è si
Per [tex]\mathbb{Z}[/tex] io intendo l'anello dei numeri interi, non un singolo numero. Se sono quei [tex]n\mathbb{Z}[/tex] a lasciarti perplesso, dovresti sapere che [tex]\forall x\in \mathbb{Z},\;\; x+n\mathbb{Z}=[x]_n[/tex], ovvero la classe dei resti di [tex]x[/tex] modulo [tex]n[/tex].
Se conosci il teorema cinese del resto, allora dovresti poter concludere subito che le coppie [tex](n,m)[/tex] tali che quell'applicazione è ben definita sono solo quelle che verificano una certa proprietà.
Se conosci il teorema cinese del resto, allora dovresti poter concludere subito che le coppie [tex](n,m)[/tex] tali che quell'applicazione è ben definita sono solo quelle che verificano una certa proprietà.
ah ok...no perchè io $nZZ$ non lo scrivo così...o meglio io scrivo $nk$ con $kinZZ$ vabbè comunque...per il teorema cinese del resto deve risultare che $(n,m)$ devono essere coprmi quindi deve risultare $ ZZ12 = ZZ4xZZ3 $
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