Principio d'induzione e valore assoluto
Salve,
qualcuno sa spiegarmi su cosa si basa la validità del principio d'induzione?
E inoltre, qualcuno può mostrarmi, in maniera dettagliata, la dimostrazione delle seguenti proprietà sul valore assoluto?
Oppure fornirmi del buon materiale di studio.
(i) |x+y| ≤ |x| +|y|;
(ii) ||x|-|y|| ≤ |x-y|;
(iii) |xy| = |x| |y| .
Grazie,
a presto...
qualcuno sa spiegarmi su cosa si basa la validità del principio d'induzione?
E inoltre, qualcuno può mostrarmi, in maniera dettagliata, la dimostrazione delle seguenti proprietà sul valore assoluto?
Oppure fornirmi del buon materiale di studio.
(i) |x+y| ≤ |x| +|y|;
(ii) ||x|-|y|| ≤ |x-y|;
(iii) |xy| = |x| |y| .
Grazie,
a presto...
Risposte
Il principio di induzione è un assioma. Vuol dire che lo consideriamo vero senza dimostrarlo. Ci sono però altri modi di vederlo. Qualcuno lo dimostra a partire dall'assioma del buon ordinamento in $NN$ che a sua volta è un assioma. Qualcuno lo fa discendere da altri assiomi. Oppure si parte dall'esistenza di insiemi induttivi (dove cioè vale l'induzione) e si definisce $NN$ come l'intersezione di tutti gli insiemi induttivi. Gira e volta sono tante catene logiche che hanno bisogna Godelianamente di un assioma su cui basarsi.
Per quanto riguarda il valore assoluto:
i) una semplice dimostrazione la fai distinguendo i 4 casi relativi alla positività di x e y. Ragiona un pochino.
ii) si ricava da i) :
$|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y| => |x|-|y|<=|x-y|$
Se parti da |y| ottieni l'altra. Unendo ottieni la ii)
iii) è banale per la definizione di valore assoluto.
pensalo così: fai il prodotto tra x e y avrai un segno e un valore (assoluto) quindi tra |xy| e xy cambia al più il segno; discorso analogo per |x||y|.
Te l'ho detto alla buona, la "formalizzazione" cerca di farla da te perchè io sono pigro.
Per quanto riguarda il valore assoluto:
i) una semplice dimostrazione la fai distinguendo i 4 casi relativi alla positività di x e y. Ragiona un pochino.
ii) si ricava da i) :
$|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y| => |x|-|y|<=|x-y|$
Se parti da |y| ottieni l'altra. Unendo ottieni la ii)
iii) è banale per la definizione di valore assoluto.
pensalo così: fai il prodotto tra x e y avrai un segno e un valore (assoluto) quindi tra |xy| e xy cambia al più il segno; discorso analogo per |x||y|.
Te l'ho detto alla buona, la "formalizzazione" cerca di farla da te perchè io sono pigro.
Sia $P_n$ una proposizione dipendente da n vera per $n=1$ se $ k\in N$ è vera l'implicazione: $P_k\impliesP_{k+1}$ allora $P_n$ è sempre vera.
Principio del buon ordinamento di $N$
Ogni parte non vuota di $N$ è dotata di minimo.
Sia $E={n\in N:P_n e' falsa}$ se $E$ fosse non vuoto esso sarebbe dotato di minimo $m>1$.Poichè $m-1$ non appartiene a $E$ $P_{m-1}$ è vera. Quindi per ipotesi del principio di induzione anche $P_{m}$ è vera.Assurdo poichè $m\in E$
$-|x|<=x<=|x|$ e $-|y|<=y<=|y|$sommando$\implies -(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|$
Principio del buon ordinamento di $N$
Ogni parte non vuota di $N$ è dotata di minimo.
Sia $E={n\in N:P_n e' falsa}$ se $E$ fosse non vuoto esso sarebbe dotato di minimo $m>1$.Poichè $m-1$ non appartiene a $E$ $P_{m-1}$ è vera. Quindi per ipotesi del principio di induzione anche $P_{m}$ è vera.Assurdo poichè $m\in E$
$-|x|<=x<=|x|$ e $-|y|<=y<=|y|$sommando$\implies -(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|$
Sì questa è la dimostrazione che dato per vero il principio del buon ordinamento è vero il principio di induzione.
Se invece si dà per vero il principio di induzione si ha:
Sia $S sube NN$, $S!=O/$ e suppongo che S non abbia minimo.
Considero P(n)="Nessun intero minore o uguale a n appartiene ad S"
Sia $T sube NN$ tale che $T={n in NN : P(n)}$
allora:
> $0 in T$ infatti se $0 !in T => 0 in S => S$ ha minimo, contro le ipotesi.
> Sia $n in T$; suppongo $n+1 !in T => P(n) ^^ not P(n+1) =>$ nessun numero minore o uguale di n sta in S ma c'è un numero minore o uguale di n+1 che sta in S $=> n+1 in S$ ed n+1 è minimo di S contro le ipotesi. Questo vuol dire verificare che in T vale l'induzione quindi $T=NN => S=O/$
Ps. Piccola pignoleria (non necessaria): Nella sua formulazione originale il principio di induzione si rifà alla definizione assiomatica di Peano dei naturali che comprende lo 0 come primo elemento quindi l'induzione completa vuole $0 in NN$ come prima ipotesi.
Se invece si dà per vero il principio di induzione si ha:
Sia $S sube NN$, $S!=O/$ e suppongo che S non abbia minimo.
Considero P(n)="Nessun intero minore o uguale a n appartiene ad S"
Sia $T sube NN$ tale che $T={n in NN : P(n)}$
allora:
> $0 in T$ infatti se $0 !in T => 0 in S => S$ ha minimo, contro le ipotesi.
> Sia $n in T$; suppongo $n+1 !in T => P(n) ^^ not P(n+1) =>$ nessun numero minore o uguale di n sta in S ma c'è un numero minore o uguale di n+1 che sta in S $=> n+1 in S$ ed n+1 è minimo di S contro le ipotesi. Questo vuol dire verificare che in T vale l'induzione quindi $T=NN => S=O/$
Ps. Piccola pignoleria (non necessaria): Nella sua formulazione originale il principio di induzione si rifà alla definizione assiomatica di Peano dei naturali che comprende lo 0 come primo elemento quindi l'induzione completa vuole $0 in NN$ come prima ipotesi.
Ok,
grazie ad entrambi
grazie ad entrambi
Ma perchè ultimamente tutti pensano che sia donna sui forum... uff devo cambiare nick... d'ora in poi non sarò più megan00b, d'ora in poi chiamatemi Gijtzyiutelitpethe.
E speriamo che la finale in "e" non desti ulteriori confusioni...ihihihih
E speriamo che la finale in "e" non desti ulteriori confusioni...ihihihih
E aggiungo: ACCIDERBOLINA!
Io non ho pensato che tu fossi donna, ho scritto entrambe con la "e" finale per sbaglio! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo