Principio d'induzione, DIM.

[gamer07]

salve a tutti , ho dei dubbi su un passaggio della dimostrazione..

Sarà che riprendo un pò la matematica dopo esser stato fermo qualche anno cmq :

1+2+3+... + n = n* $ n+1 $/2 per ogni n>=1;


n=1 ;

n * $ n+1 $ / 2 = 2/2 = 1 .

Base dell'induzione soddisfatta.


passo induttivo :

partendo dall'ipotesi :
1+2+3+... + t = t * $ t+1$ /2

si vuole provare che :

$1+2+3+... + t + (t+1) = (( t+1) * ( t+1 + 1)) /2 $


quindi andiamo a svolgere :

$1+2+3+... + t + (t+1) = (t * (t + 1)) / 2 + (t + 1 )$
$1+2+3+... + t + (t+1) = ((t * ( t + 1)) + (2 * ( t + 1 ))) /2 $ ----- fin quì tutto chiaro
$1+2+3+... + t + (t+1) = ((t + 1) * (t + 2)) /2 $ ----- questo passaggio non l'ho capito, cosa fa quì ??


Scusatemi, è sicuramente una sciochezza però in questo momento ho difficoltà e non ricordo / capisco l'operazione fatta, mi infastidisce non capire..

Attendo qualcuno con tanta pazienza per spiegarmi ..


Ps: perdonatemi ma non riesco a postare anche se ho letto le regole :
Come si crea un indentazione del tipo :

 ( t ( t+1)) / 2

??

[Martino]

Ciao!

Per favore cerca di mettere i \$ al posto giusto. Devi metterne uno prima e uno dopo l'intera formula.

Per esempio non scrivere:

1+2+3+... + t + \$ t+1 \$ = \$ t+1\$ * \$ t+1 + 1 \$ /2

ma scrivi:

\$1+2+3+... + t + (t+1) = (t+1) * (t+1 + 1) /2\$

Ti sarei grato se modificassi il tuo intervento scrivendo meglio le formule. Basta che clicchi su "modifica".

Grazie.

[Gi81]

$1+2+3+...+t+t+1=(t*(t+1)+2*(t+1))/2$ Questo hai scritto che ti è chiaro.

Semplicemente, in $(t*(t+1)+2*(t+1))/2$ se raccogli $(t+1)$ a fattor comune ottieni $((t+1)*(t+2))/2$
Ok?

[gamer07]

"Gi8":$1+2+3+...+t+t+1=(t*(t+1)+2*(t+1))/2$ Questo hai scritto che ti è chiaro.

Semplicemente, in $(t*(t+1)+2*(t+1))/2$ se raccogli $(t+1)$ a fattor comune ottieni $((t+1)*(t+2))/2$
Ok?

Si !!!

Scusa, che sbadato.

Grazie mille


moderatore, ho corretto. Grazie ^^

[gamer07]

ragazzi potete aiutarmi quì non riesco a capire :

si vuole dimostrare che :

$1^3 + ... + t^3 = (t^2 * (t + 1)^2) / 4 $

poniamo t = 1

$ 1^3 = (1^2 * (1+1)^2)/4 $ ... ... 1= 1 base dimostrata.

passo induttivo :

$1^3 + ... + t^3 + ( t +1)^3 = ( (t + 1)^2 * (t + 1 + 1)^2 ) / 4 $

quindi :

$ (t^2 * ( t + 1) ^2) / 4 + (t + 1)^3 $
ok, partendo dalla traccia ha aggiunto (t+1)^3 al primo e al secondo membro giusto.. ?
$ ( (t^2 * ( t + 1) ^2) + 4(t + 1)^3 ) / 4 $
qui fa il mcm ....
$ ((t + 1)^2 + (t^2 + 4t + 4)) / 4 $
e quì che ha combinato ? Non ho capito nulla ....
e poi il passaggio successivo è la conclusione :
$ ((t + 1)^2 + (t + 2)^2)/4 $

[Gi81]

$(t^2*(t+1)^2+4*(t+1)^3)/4$ Fin qui ci sei.
A numeratore, raccogli qualcosa a fattor comune... Poi arrivi al risultato finale.


N.B.: La conclusione deve essere $((t+1)^2*(t+2)^2)/4$, non $((t+1)^2+(t+2)^2)/4$ come hai scritto tu (probabilmente hai solo sbagliato a scrivere)

[gamer07]

"Gi8":$(t^2*(t+1)^2+4*(t+1)^3)/4$ Fin qui ci sei.
A numeratore, raccogli qualcosa a fattor comune... Poi arrivi al risultato finale.


N.B.: La conclusione deve essere $((t+1)^2*(t+2)^2)/4$, non $((t+1)^2+(t+2)^2)/4$ come hai scritto tu (probabilmente hai solo sbagliato a scrivere)

Si ho sbagliato a scrivere.. però cmq non riesco a capire cosa raccoglie a fattor comune,
mette in evidenza $ t + 1 $ ma non riesco cmq a capire poi cosa combina .. Sono confuso.

[Gi81]

$(t^2*(t+1)^2+4*(t+1)^3)/4$

A numeratore raccogli $(t+1)^2$