Principio di induzione(quando non è specificato per quali n)
ciao a tutti
in quasi tutti gli esercizi si dice di dimostrare se una data disuguaglianza è vera a partire da un certo n specificato sul testo dell'esercizio.
ahimè la mia prof di analisi è l'unica rompi che mette invece cose del genere:
Dire "per quali" $ n in NN $ risulta $ 4^n>=n^2*2^n $
L'esercizi in questione ad esempio se non sbaglio risulta vero per $ n=0,1,2 $ (perchè per lei $ 0 in NN $ ...),poi c'è un buco,non vale per $ n=3 $,e poi vale per ogni n... quindi costituisce l'insieme $ NN-{3} $
la domanda è questa:prima di fare la prova induttiva per $ n+1 $ ,la devo supporre vera per $ n $ ....e in questo modo ho dovuto calcolarmi piu di un indice per vedere che nn esiste per n=3....e chi me lo assicura che non ci sono altri buchi?
In altri esercizi avrei visto in aggiunta "dimostrare che è vera per $ n>3 $ ...
in quasi tutti gli esercizi si dice di dimostrare se una data disuguaglianza è vera a partire da un certo n specificato sul testo dell'esercizio.
ahimè la mia prof di analisi è l'unica rompi che mette invece cose del genere:
Dire "per quali" $ n in NN $ risulta $ 4^n>=n^2*2^n $
L'esercizi in questione ad esempio se non sbaglio risulta vero per $ n=0,1,2 $ (perchè per lei $ 0 in NN $ ...),poi c'è un buco,non vale per $ n=3 $,e poi vale per ogni n... quindi costituisce l'insieme $ NN-{3} $
la domanda è questa:prima di fare la prova induttiva per $ n+1 $ ,la devo supporre vera per $ n $ ....e in questo modo ho dovuto calcolarmi piu di un indice per vedere che nn esiste per n=3....e chi me lo assicura che non ci sono altri buchi?
In altri esercizi avrei visto in aggiunta "dimostrare che è vera per $ n>3 $ ...
Risposte
Durante la dimostrazione devi fare i conti, se i conti non tornassero vi sarebbe un buco; eventualmente calcolabile!
Edit: Sarebbe [tex]4^n\geq n^22^n\iff2^n\geq n^2[/tex] per esemplificare!
Edit: Sarebbe [tex]4^n\geq n^22^n\iff2^n\geq n^2[/tex] per esemplificare!
dunque
se prendo una roba del genere $n^2>2n+1$...dire per quali n è verificata
uno inizia a calcolare e scopre che per n=0,1,2 non è verificata,poi scopre che per n=3 lo è e allora dice ok,vedo a questo punto se è verificata anche per $n+1$,fa il calcolo in questo mnodo
$(n+1)^2>2*(n+1)+1=2n+3$
$(n+1)^2=n^2+(2n+1)>(2n+1)+(2n+1)=2n+3+2n-1>2n+3$
e poi vede che quello che esce è verificato per n>0 e quindi certamente per n>2.....ma questo non significa un bel niente a parte dire che i numeri naturali sono una successione ordinata,perche secondo quello che esce allora dato $2n+3+2n-1>2n+3$ verificta per n>0 dovrebbe essere verifica per n>0 anche la tesi e quindi $n^2>2n+1$,che è invece verificata per n>2
che significa?? mi fa credere che uno debba azzeccare empiricamente sempre i primi numeri e poi pregare che non ci siano buchi e dimostrare che l'insieme $NN$ è ordinato
come nell'esercizio del post,se mi fossi fermato a $P(1)$ la base induttiva era vera e l'ipotesi sarebbe stata uguale e non avrei potuto calcolare se non empiricamente(nella tesi) che n=3 non verifica l'uguaglianza e avrei concluso che è verificata per ogni numero naturale
So che il mio ragionamento è sbagliato....spero solo che qualcuno però mi convinca
se prendo una roba del genere $n^2>2n+1$...dire per quali n è verificata
uno inizia a calcolare e scopre che per n=0,1,2 non è verificata,poi scopre che per n=3 lo è e allora dice ok,vedo a questo punto se è verificata anche per $n+1$,fa il calcolo in questo mnodo
$(n+1)^2>2*(n+1)+1=2n+3$
$(n+1)^2=n^2+(2n+1)>(2n+1)+(2n+1)=2n+3+2n-1>2n+3$
e poi vede che quello che esce è verificato per n>0 e quindi certamente per n>2.....ma questo non significa un bel niente a parte dire che i numeri naturali sono una successione ordinata,perche secondo quello che esce allora dato $2n+3+2n-1>2n+3$ verificta per n>0 dovrebbe essere verifica per n>0 anche la tesi e quindi $n^2>2n+1$,che è invece verificata per n>2
che significa?? mi fa credere che uno debba azzeccare empiricamente sempre i primi numeri e poi pregare che non ci siano buchi e dimostrare che l'insieme $NN$ è ordinato
come nell'esercizio del post,se mi fossi fermato a $P(1)$ la base induttiva era vera e l'ipotesi sarebbe stata uguale e non avrei potuto calcolare se non empiricamente(nella tesi) che n=3 non verifica l'uguaglianza e avrei concluso che è verificata per ogni numero naturale
So che il mio ragionamento è sbagliato....spero solo che qualcuno però mi convinca
Dal tuo secondo esempio, avendo calcolato che per [tex]n=3[/tex] è vera la diseguaglianza proposta devi verificarla anche per [tex]n=4[/tex], se lo fosse ancora si può applicare tranquillamente il principio d'induzione e dimostrarla.
Svolgendo i conti ti trovi: [tex](n+1)^2>2n+3[/tex] che è vera per [tex]n=2[/tex] ovvero che [tex]3^2>2\cdot2+3[/tex] ovvero ti ritrovi che [tex]n^2>2n+1[/tex] è vera per [tex]n=3[/tex], poiché stai ragionando per induzione e ti sei trovato [tex](n+1)^2>2(n+1)+1[/tex] per induzione l'asserto è vero per l'ipotesi iniziale che sia [tex]n>2[/tex].
Non essendovi delle assurdità l'asserto è vero e non vi possono essere "buchi" altrimenti non sarebbe vero il principio d'induzione
P.S.: Non credo di essere stato assolutamente chiaro ma spero di averti aiutato in parte!
Svolgendo i conti ti trovi: [tex](n+1)^2>2n+3[/tex] che è vera per [tex]n=2[/tex] ovvero che [tex]3^2>2\cdot2+3[/tex] ovvero ti ritrovi che [tex]n^2>2n+1[/tex] è vera per [tex]n=3[/tex], poiché stai ragionando per induzione e ti sei trovato [tex](n+1)^2>2(n+1)+1[/tex] per induzione l'asserto è vero per l'ipotesi iniziale che sia [tex]n>2[/tex].
Non essendovi delle assurdità l'asserto è vero e non vi possono essere "buchi" altrimenti non sarebbe vero il principio d'induzione
P.S.: Non credo di essere stato assolutamente chiaro ma spero di averti aiutato in parte!
Il principio di induzione funziona sempre, senza se e senza ma, e sopratutto senza "buchi".
C'è evidentemente un errore nel tuo calcolo.
come nell'esercizio del post,se mi fossi fermato a P(1) la base induttiva era vera e l'ipotesi sarebbe stata uguale e non avrei potuto calcolare se non empiricamente(nella tesi) che n=3 non verifica l'uguaglianza e avrei concluso che è verificata per ogni numero naturale
C'è evidentemente un errore nel tuo calcolo.
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