Principio di induzione: equivalenza tra prima e seconda forma

[Plepp]

Salve ragazzi,
non avendo di meglio da fare, ho provato a dimostrare l'equivalenza tra le seguenti due forme del principio di induzione
\[\Bigg[(S\subseteq \mathbb{N})\wedge (0\in S)\wedge \big(\forall n\in \mathbb{N}, (n\in S\implies n+1\in S)\big)\Bigg]\implies S=\mathbb{N} \tag{I}\]
\[\Bigg[(S\subseteq \mathbb{N})\wedge (0\in S)\wedge \underbrace{\Big(\forall n\in \mathbb{N}, \big((\forall m\le n, m\in S)\implies n+1\in S\big)\Big)}_{\text{(H)}}\Bigg]\implies S=\mathbb{N} \tag{II}\]
Provare che $("II")\implies ("I")$ è semplice; per $("I")\implies("II")$ ho un problema.
Le mie ipotesi sono $0\in S$ e $("H")$: voglio utilizzare $("I")$ per dimostrare che sotto queste ipotesi ho $S=NN$. Suppongo dunque che $n\in S$ e tento di dimostrare che $n+1\in S$. Ragionando per assurdo, ho
\[n+1\notin S\implies \exists m_0 Da qui l'idea di far vedere che in questo modo ottengo una successione strettamente decrescente $\{m_0,m_1,...\}$ di elementi di $NN\setminus S$ che non può che "arrivare", prima o poi, a zero, che per ipotesi sta in $S$: avrei l'assurdo.

Il fatto è che questa strategia mi pare eccessivamente complicata, trattandosi di un argomento "elementare", e in ogni caso non mi viene in mente come formalizzare bene l'ultima parte, sempre a causa del fatto che si tratta di un argomento "da primo capitolo" (ergo troverei fuori luogo utilizzare strumenti come successioni, limiti o quant'altro). In sostanza, mi s'è incartata la dimostrazione Che dite?

Grazie in anticipo

EDIT: dimenticavo, non posso usare il Principio del buon ordinamento.

[Plepp]

Orsù ragazzi

[Kashaman]

Scusa ma se te hai :
$ AA m <= n , m \in S => n+1 \in S$
La negazione di questa non dovrebbe essere questa :
$n+1 \notin S => EE m > n , m \notin S $ ?