Principio di induzione con fattoriale
Buongiorno, mi sono imbattuto in un esercizio sul Principio di induzione con un fattoriale:
DIMOSTRARE CHE: $$\sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1 \hspace{1cm} \forall n \ge 1$$
Base induttiva calcolata e ok.
Sono andato avanti e devo dimostrare che $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=((n+1)+1)!-1$
allora sono riuscito a calcolare $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=(\sum_{k=1}^n k(k!))+(n+1)(n+1)!$ [....]
Ora quindi devo dimostrare che l'ip. ind. $((n+1)+1)!-1$ sia uguale al risultato che ho trovato: $(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!$
Come posso semplificare in modo tale che siano esattamente uguali?
DIMOSTRARE CHE: $$\sum_{k=1}^n k(k!)=(n+1)!-1 \hspace{1cm} \forall n \ge 1$$
Base induttiva calcolata e ok.
Sono andato avanti e devo dimostrare che $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=((n+1)+1)!-1$
allora sono riuscito a calcolare $\sum_{k=1}^{n+1} k(k!)=(\sum_{k=1}^n k(k!))+(n+1)(n+1)!$ [....]
Ora quindi devo dimostrare che l'ip. ind. $((n+1)+1)!-1$ sia uguale al risultato che ho trovato: $(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!$
Come posso semplificare in modo tale che siano esattamente uguali?
Risposte
"truepesole":Hai provato a raccogliere $(n+1)!$
Ora quindi devo dimostrare che l'ip. ind. $((n+1)+1)!-1$ sia uguale al risultato che ho trovato: $(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!$
Come posso semplificare in modo tale che siano esattamente uguali?
?
Non abbiamo approfondito molto le proprietà sui fattoriali, potresti dirmi come posso raccoglierlo?
Qual è la definizione del fattoriale?
$$\prod_{i=0}^{n-1} (n-i)$$ dovrebbe essere, ma non mi si accende ancora nessuna lampadina
Cioè, la definizione più brutta… Ma dove l’hai presa? 
Meglio scriverla così $n! := prod_(i=1)^n i = 1*2*3* \cdots *(n-1)*n$, o, ancora meglio, darla per ricorrenza (in modo da mettere in evidenza la proprietà che ci serve):
\[
\begin{cases}
(n+1)! = (n+1) \cdot n! \\
1! = 1
\end{cases}
\]
cosicché il fattoriale di $n+1$ si ottiene moltiplicando $n!$ per $n+1$.
Riesci a vedere ora?
C’è un raccoglimento a fattor comune che può essere utile.
Meglio scriverla così $n! := prod_(i=1)^n i = 1*2*3* \cdots *(n-1)*n$, o, ancora meglio, darla per ricorrenza (in modo da mettere in evidenza la proprietà che ci serve):
\[
\begin{cases}
(n+1)! = (n+1) \cdot n! \\
1! = 1
\end{cases}
\]
cosicché il fattoriale di $n+1$ si ottiene moltiplicando $n!$ per $n+1$.
Riesci a vedere ora?
C’è un raccoglimento a fattor comune che può essere utile.
Ah ok forse ho capito, in pratica raccogliendo ho $(n+1)! \cdot (1+(n+1))-1$ ma dato che $(n+2)! =(n+2) \cdot (n+1)!$ (come hai suggerito tu nella definizione di fattoriale) allora posso scriverlo come $((n+1)+1)!-1$. È giusto come ragionamento?
La tua definizione è davvero strana e poco pratica. La dimostrazione della proprietà di Gugo va fatta bene però.
\begin{align*} (n+1)! &= \prod_{i=0}^{n} ( n + 1 - i ) \\ &= (n+1) \prod_{i=1}^{n} ( n + 1 - i ) \\ &= (n+1) \prod_{i=1}^{n} \bigl[ n - (i-1) \bigr]\\ &= (n+1) \prod_{j=0}^{n-1} ( n - j ) \\ &= n!(n+1)\,. \end{align*}
\begin{align*} (n+1)! &= \prod_{i=0}^{n} ( n + 1 - i ) \\ &= (n+1) \prod_{i=1}^{n} ( n + 1 - i ) \\ &= (n+1) \prod_{i=1}^{n} \bigl[ n - (i-1) \bigr]\\ &= (n+1) \prod_{j=0}^{n-1} ( n - j ) \\ &= n!(n+1)\,. \end{align*}
Grazie ora chiarissima anche la dimostrazione! Comunque la definizione del fattoriale l'ho scritta un po' da informatico, effettivamente meglio come l'avete definita voi ahaha
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