Principio di induzione

[lupodimare2]

Buongiorno a tutti, avrei bisogno dell'ennesima gentilezza da parte vostra.

Avrei bisogno che qualcuno di voi fosse così gentile a spiegarmi in modo semplice e chiaro come si svolga un esercizio sul principio di induzione.

Premetto che conosco la teoria del principio di induzione conosco il passo base , l'ipotesi induttiva e il passo induttivo ma ho difficoltà a svolgere gli esercizi.

Gli esercizi che mi vengono proposti sono di 2 tipi:
Si dimostri per induzione che Σi=0,..,n 2i > 2n

$ Σi=0,..,n 2^i > 2n $

$ Σk=1,..,n (2k-1) = n^2 $

Per quanto riguarda il passo base è banale e non ho problemi.

Per il passo induttivo ho delle difficoltà nello svolgere l'esercizio. Potreste per favore farmi un esempio di come devo verificare che la sommatoria è vera anche per n+1 ?

Grazie
A.

[Rggb1]

C'è un po di confusione nelle formule, vediamo se ho capito bene. Vuoi dimostrare questo?
$sum_(i = 0)^(n) 2^i > 2n$

Allora:
a) $2^0 > 2*0 -> 1>0$
b) per ipotesi induttiva hai $sum_(i = 0)^(k) 2^i > 2k$ devi dimostrare che vale $sum_(i = 0)^(k+1) 2^i > 2(k+1)$

Comincio io:
$sum_(i = 0)^(k+1) 2^i=sum_(i = 0)^(k) 2^i + 2^(k+1)$

Prova a completare.

[lupodimare2]

si hai capito bene....
mmm proviamo anche se è proprio questo il punto di massima difficoltà.

basta sostituire $\sum_{i=0}^(k+1) 2^i $ nella disequazione precedente $\sum_{i=0}^(k+1) 2^i > 2(k+1) $ ??

in questo modo ho : $\sum_{i=0}^(k+1) 2^i + 2(k+1) > 2(k+2) $

poi non so come continuare.

levo al sommatoria e al posto di i metto k?

[Seneca1]

Assumi VERA $sum_(i = 0)^(k) 2^i > 2k$ . Utilizzando questa ipotesi devi cercare (inventiva) di dedurre che è vera anche $sum_(i = 0)^(k+1) 2^i > 2(k+1)$.

Chiaro? Prova.

Sfrutta il consiglio datoti da Rggb.