Principio di induzione
Ciao a tutti,
ieri la prof ha svolto alla lavagna un esercizio in questo modo, ma c'è una passaggio ke mi è poco chiaro:
dimostrare per induzione che $3^n>=2n$
dopo averla verificata vera per $n=1$ , la verifica per $n+1$:
ipotesi $3^n>=2n$
tesi: $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora (è da qui che non ho più capito) $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$
qualcuno potrebbe spiegarmi questo ultimo passaggio'
Grazie anticipatamente
ieri la prof ha svolto alla lavagna un esercizio in questo modo, ma c'è una passaggio ke mi è poco chiaro:
dimostrare per induzione che $3^n>=2n$
dopo averla verificata vera per $n=1$ , la verifica per $n+1$:
ipotesi $3^n>=2n$
tesi: $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora (è da qui che non ho più capito) $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$
qualcuno potrebbe spiegarmi questo ultimo passaggio'
Grazie anticipatamente
Risposte
se fosse $2n+2n+2n>=2n+4>=2(n+1)$ il teorema tornerebbe perfettamente...probabilmente c'è stato un piccolo errore di distrazione...
ciao
ciao
ma la prof ha detto ke deve appunto tornare visto ke dobbiamo dimostrare che la tesi sia vera...
ma quello che non ho capito è come fa a passare da $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ a $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$ che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ fa $6n$ l'ho capito e che $6n$ si può scrivere come $2n+2n+2n$ ma da qui come fa a dire che è = a $2n+4$? ecco il mio dubbio è più pratico che teorico, mi sfugge il passaggio matematico, pratico... aiutatemi
ma quello che non ho capito è come fa a passare da $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ a $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$ che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ fa $6n$ l'ho capito e che $6n$ si può scrivere come $2n+2n+2n$ ma da qui come fa a dire che è = a $2n+4$? ecco il mio dubbio è più pratico che teorico, mi sfugge il passaggio matematico, pratico... aiutatemi
Come diceva jack:
quel $2n+2n+2n = 2n+4$ probabilmente è un $2n+2n+2n >= 2n+4$ visto che $n>=2$
e quindi non fa una grinza, concordi?
quel $2n+2n+2n = 2n+4$ probabilmente è un $2n+2n+2n >= 2n+4$ visto che $n>=2$
e quindi non fa una grinza, concordi?
ragazzi scusate forse, sicuramente, non riesco a spiegarmi io:
allora : $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora che $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$
adesso analizziamo passo per passo: $3^[n+1]>=2(n+1)$ per le proprietà delle potenze fa: $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ adesso il $6n$ lo scriviamo come $2n+2n+2n$ e fino a qui ci sono quello che non ho capito è da dove lo prendiamo questo $2n+4$ che poi è uguale a $2(n+1)$ l'ho capito perchè raccogliamo il $2$ ma il passo prima?
Vi prego ditemi se sono riuscita adesso a farmi capire...
allora : $3^[n+1]>=2(n+1)$ da cui segue che $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ da cui segue ancora che $2n+2n+2n = 2n+4 > 2n+2= 2(n+1)$
adesso analizziamo passo per passo: $3^[n+1]>=2(n+1)$ per le proprietà delle potenze fa: $3^n 3>= 2n 3 = 6n$ adesso il $6n$ lo scriviamo come $2n+2n+2n$ e fino a qui ci sono quello che non ho capito è da dove lo prendiamo questo $2n+4$ che poi è uguale a $2(n+1)$ l'ho capito perchè raccogliamo il $2$ ma il passo prima?
Vi prego ditemi se sono riuscita adesso a farmi capire...
no qua mi sa che non quadra già in partenza:
dici 'da cui segue che' all'inizio, xò $3^(n+1)>=2(n+1)$ è la tesi da dimostrare, quindi non implica niente. $3^n*3 >= 2n3$ deriva dall'ipotesi d'induzione.
Fino a qua ok?!
dici 'da cui segue che' all'inizio, xò $3^(n+1)>=2(n+1)$ è la tesi da dimostrare, quindi non implica niente. $3^n*3 >= 2n3$ deriva dall'ipotesi d'induzione.
Fino a qua ok?!
si fin qui ho capito è la continuazione a darmi problemi... 
ok, allora continuando
$3^n3>=2n3=6n>=2n+4>2n+2=2(n+1)$
e quindi la tesi è dimostrata.
poi il fatto di scrivere che è $>=$ di $2n+4$ può essere superfluo....xo giusto
$3^n3>=2n3=6n>=2n+4>2n+2=2(n+1)$
e quindi la tesi è dimostrata.
poi il fatto di scrivere che è $>=$ di $2n+4$ può essere superfluo....xo giusto
allora per dimostrare la tesi potevamo fermarci qui: $3^n3>=2n3=6n ?
e poi da dove spunta questo 2n+4 è questo che non ho capito sarebbe il $6n$ che diventa così?
e poi da dove spunta questo 2n+4 è questo che non ho capito sarebbe il $6n$ che diventa così?
no la tesi l'hai dimostrata quando arrivi a vedere che $3^(n+1) >= 2(n+1)$
Cmq si è il 6n che 'diventa' un 2n+4,
cioè $6n=2n+4n>=2n+4$ (xké $n>=1$!)
(sxo ke ora sia chiaro...se non fosse...cmq mi trovi in msn
)
ciao
Cmq si è il 6n che 'diventa' un 2n+4,
cioè $6n=2n+4n>=2n+4$ (xké $n>=1$!)
(sxo ke ora sia chiaro...se non fosse...cmq mi trovi in msn
)ciao
leev sei un genio...finalmente ho capito, devo ammettere però che mi sono davvero divertita, non avevo mai dibattuto su un tema "matematico"...
grazie tante
ps. ti ho aggiunto ai miei contatti, spero non ti dispiaccia...
grazie tante
ps. ti ho aggiunto ai miei contatti, spero non ti dispiaccia...
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