Principio di induzione

[sabri182]

Buonasera,
dovrei dimostrare tramite il principio di induzione che

5 |(11^n + 4) ∀ n ∈ N

Procedo in questo modo:

Passo base (P) = 1 :
\(\displaystyle 5|(11^n + 4) \)
\(\displaystyle 5|(11^1 + 4) \)
\(\displaystyle 5| (11 + 4) \)
\(\displaystyle 5| 15 \) (verificata dato che 15 è un multiplo di 5)

Passo induttivo (per n+1) :
\(\displaystyle 5|(11^n +1 + 4) \)
\(\displaystyle 5| 11^n · 11 + 4 \)
\(\displaystyle 5| 11^n · (10 + 1) + 4 \)
\(\displaystyle 5| 11^n · 10 + 11^n + 4 \)
\(\displaystyle 5| 11^n · 10 \) (verificata dato che 10 è un multiplo di 5)
\(\displaystyle 5| 11^n + 4 \) (questo punto onestamente non so come verificarlo)

Sapreste dirmi se il mio ragionamento è corretto?
Grazie tante!

[axpgn]

Per ipotesi abbiamo $11^n+4=5k$, dobbiamo dimostrare che $11^(n+1)+4=5h$.

$11^(n+1)+4=11*11^n+4=10*11^n+11^n+4=(5*2*11^n)+(11^n+4)$

La prima parentesi è chiaramente divisibile per $5$ mentre la seconda lo è per ipotesi induttiva.

Cordialmente, Alex

[sabri182]

Grazie mille!