Principio di identità dei polinomi...
Carissimi ragazzi, studiando le coniche e le quadriche, mi sono imbattuto nel "principio di identità dei polinomi" nella sua versione generale, ossia:
Sia $ K $ un campo infinito ed $ F $ un polinomio di $ K[x_1,....,x_r] $, se $ F(a_1,...,a_r)=0 $ $ AA (a_1,....,a_r) in K^r $ $ rArr $ $ F $ è il polinomio nullo.
Di tale teorema non sono riuscito a trovarne dimostrazione, se non nel caso banale ad una sola variabile.Spero che voi possiate darmi una mano. Ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
Sia $ K $ un campo infinito ed $ F $ un polinomio di $ K[x_1,....,x_r] $, se $ F(a_1,...,a_r)=0 $ $ AA (a_1,....,a_r) in K^r $ $ rArr $ $ F $ è il polinomio nullo.
Di tale teorema non sono riuscito a trovarne dimostrazione, se non nel caso banale ad una sola variabile.Spero che voi possiate darmi una mano. Ringrazio anticipatamente per la collaborazione.
Risposte
Per induzione su r. Per $r=1$ abbiamo l'anello dei polinomi in una variabile: ogni polinomio non nullo di grado $n\ge 0$ ammette al più $n$ radici in $K$; ma l'ipotesi dice che tutti gli elementi di $K$ sono radici di $K$; $K$ è infinito, dunque $F$ non può che essere il polinomio nullo.
Sia $r>1$ e supponiamo vera la tesi per $r-1$. Supp. per assurdo $F\ne 0$. Scriviamo $F\in K[x_1,...,x_r]=K[x_1,...,x_{r-1}][x_r]$ come $F=F_nx_r^n+...F_1x_r+F_0$ con $F_n!=0$ e ogni $F_i\in K[x_1,...,x_{r-1}]$. Poiché $F_n!=0$, per ipotesi induttiva esistono $a_1,...,a_{r-1}\in K$ t.c. $F_n(a_1,...,a_{r-1})!=0$. Allora $F(a_1,...,a_{r-1},x_r)\in K[x_r]$ è un polinomio non nullo nell'indeterminata $x_r$, che avendo grado $n$ ammette al più $n$ radici. D'altra parte per ipotesi, $F(a_1,...,a_{r-1},a)=0$ per ogni $a\in K$. Ma $K$ è infinito, assurdo.
Ripercorrendo la dimostrazione ti accorgerai che si possono indebolire le ipotesi: basta supporre che $F$ si annulli su $(a_1,...,a_r)$ con $a_i\in A$, ove $A$ è un qualsiasi sottoinsieme infinito di $K$ (non necessariamente tutto $K$).
Sia $r>1$ e supponiamo vera la tesi per $r-1$. Supp. per assurdo $F\ne 0$. Scriviamo $F\in K[x_1,...,x_r]=K[x_1,...,x_{r-1}][x_r]$ come $F=F_nx_r^n+...F_1x_r+F_0$ con $F_n!=0$ e ogni $F_i\in K[x_1,...,x_{r-1}]$. Poiché $F_n!=0$, per ipotesi induttiva esistono $a_1,...,a_{r-1}\in K$ t.c. $F_n(a_1,...,a_{r-1})!=0$. Allora $F(a_1,...,a_{r-1},x_r)\in K[x_r]$ è un polinomio non nullo nell'indeterminata $x_r$, che avendo grado $n$ ammette al più $n$ radici. D'altra parte per ipotesi, $F(a_1,...,a_{r-1},a)=0$ per ogni $a\in K$. Ma $K$ è infinito, assurdo.
Ripercorrendo la dimostrazione ti accorgerai che si possono indebolire le ipotesi: basta supporre che $F$ si annulli su $(a_1,...,a_r)$ con $a_i\in A$, ove $A$ è un qualsiasi sottoinsieme infinito di $K$ (non necessariamente tutto $K$).
Grazie mille. Davvero molto carina questa dimostrazione. 
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