Principio del minimo intero

[marcus1121]

Per assurdo. Sia $A!= O/$ un insieme di interi positivi che non contiene un minimo.
Dimostriamo per induzione che, $AA n$, si ha

$P(n): x in A rArr >=n$

$P(1)$ è vera (ogni intero $x >=1$)

Domanda: ciò significa che sicuramente gli elementi di A sono $>=$ di $n=1$ per cui in $A$ non c'è minimo?

Sia $P(n)$ vera. Allora $n !inA$ Questo perchè se $n in A$ e avendosi $x>=n$, $n$ sarebbe un intero minimo.

Sia $k in A$ allora $k >=n$, ma poichè $n !in A$, non può essere $k=n$, e perciò

$k >= n+1$
Qui io comprendo così: non potento $K$ essere $=n$ e non potendo essere $K> n$ altrimenti in $A$ esisterebbe un minimo intero

$K$ deve essere per forza $>=n+1$. Dico bene?

Ne consegue che $P(n) $è vera poichè è vera $P(n+1)$? Dunque $P$ è vera $AA n$.

Con $n= K+1$ però si ha $K>=k+1$...una contraddizione:

cioè la dimostrazione per induzione è falsa: esiste un $K<=n$.

Cosa ne pensate...ho ancora dei dubbi! Mi potete fare degli esempi?

[Lord K]

Personalmente non lo dimostrerei per assurdo Anche facendolo, però, mi pare che ci siano molti passi illogici qui...

"marcus112":Per assurdo. Sia $A!= O/$ un insieme di interi positivi che non contiene un minimo.
Dimostriamo per induzione che, $AA n$, si ha

$P(n): x in A rArr >=n$

$P(1)$ è vera (ogni intero $x >=1$)

Domanda: ciò significa che sicuramente gli elementi di A sono $>=$ di $n=1$ per cui in $A$ non c'è minimo?

No, infatti qui la confusione c'è. Tu devi far vedere che vale [tex]\neg P(n)[/tex] e non [tex]P(n)[/tex], stai dimostrando per assurdo!

Sia $P(n)$ vera. Allora $n !inA$ Questo perchè se $n in A$ e avendosi $x>=n$, $n$ sarebbe un intero minimo.

Sia $k in A$ allora $k >=n$, ma poichè $n !in A$, non può essere $k=n$, e perciò

$k >= n+1$
Qui io comprendo così: non potento $K$ essere $=n$ e non potendo essere $K> n$ altrimenti in $A$ esisterebbe un minimo intero

$K$ deve essere per forza $>=n+1$. Dico bene?

Non dici molto bene, anche perchè se il procedimento fosse corretto, avremmo che [tex]Kn+1[/tex]...

Ne consegue che $P(n) $è vera poichè è vera $P(n+1)$? Dunque $P$ è vera $AA n$.

Con $n= K+1$ però si ha $K>=k+1$...una contraddizione:

cioè la dimostrazione per induzione è falsa: esiste un $K<=n$.

Cosa ne pensate...ho ancora dei dubbi! Mi potete fare degli esempi?

I dubbi sono leciti e provare a ripensarci alla luce delle mie ossevrazioni forse avrebbe un senso