Primo Teorema di Sylow

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Sia \( G \) un gruppo finito di ordine \( n \), \( p \) un numero primo che divide \( n \) e \( v_p(n) \) la \(p\)-evaluazione di \(n\), \( v_p(n) \geq 1 \) è l'esponente della più grande potenza di \( p \) che divide \(n \), i.e. \( p^{v_p(n)} \mid n \) e \( p^{v_p(n)+1} \not\mid n \). Allora \( G \) possiede un sotto gruppo \( P \) di ordine esattamente \( p^{v_p(n)} \).

Non ho veramente idea da dove partire per dimostrare il primo Teorema di Sylow. Avreste dei suggerimenti?

[xdom="Martino"]Spostato in Algebra.[/xdom]

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Scusate se l'ho messo in Geometria, ma io l'ho visto al corso di Geometria.

[jinsang]

Penso che ci siano molte dimostrazioni in commercio (è un risultato importante), ti do qualche dritta per arrivare a quella che conosco io che sfrutta una particolare azione del gruppo.

Sia $G$ gruppo con $|G|=n$ con $r=v_p(n)$ (quindi possiamo scrivere $|G|=p^r m$ con $(p,m)=1$)
Allora considero $X={S \sube G| |S|=p^r}$
E considero l'azione
$G\xxX->X$
$(g,S)->gS={gs|s in S} in X$
(spero che abbiate visto le azioni scritte in modo simile a questo,
comunque l'azione semplicemente "muove" i sottoinsiemi che ho messo in $X$)

Domande/step
1. Quanto vale $|X|$?
2. Quanto vale $v_p(|X|)$?
3. Possiamo scrivere $|X|$ come somma di cardinalità delle orbite individuate dall'azione
(Questa sopra è una cosa vera in generale per qualsiasi azione)
4. Alla luce di 2. e 3. dedurre che non può essere che ogni orbita abbia come cardinalità un multiplo di $p$.
Quindi almeno un'orbita ha cardinalità coprima con $p$. Prendiamo $\overline{S}$ appartenente a tale orbita.
5. Considera $Stab(overline{S})$ e deduci che è proprio il sottogruppo di $G$ che cercavi.

Buon Lavoro