Primo teorema di isomorfismo
Il primo teorema di isomorfismo, o anche teorema di decomposizione di applicazioni, dice che:
sia $f : A -> B$ una funzione tra insiemi e $R$ una relazione di equivalenza su $A$. Esiste un'unica bigezione $f' : A/R -> Imf$ tale che la composizione
funzionale $i \circ f' \circ p = f$, dove $i : Imf -> B$ e' l'immersione canonica e $p : A -> A/R$ e' la proiezione canonica ($f'$ rende in pratica commutativo un diagramma che consente di usare $f$ oppure la composizione funzionale).
Provando con una funzione non bigettiva $f : ZZ -> ZZ$ tale che $f(x)=x^2$ mi ritrovo che con la composizione funzionale riesco in pratica a rendere bigettiva $f$, quindi mi chiedevo se lo scopo di questo teorema fosse questo oppure ha altre implicazioni.
sia $f : A -> B$ una funzione tra insiemi e $R$ una relazione di equivalenza su $A$. Esiste un'unica bigezione $f' : A/R -> Imf$ tale che la composizione
funzionale $i \circ f' \circ p = f$, dove $i : Imf -> B$ e' l'immersione canonica e $p : A -> A/R$ e' la proiezione canonica ($f'$ rende in pratica commutativo un diagramma che consente di usare $f$ oppure la composizione funzionale).
Provando con una funzione non bigettiva $f : ZZ -> ZZ$ tale che $f(x)=x^2$ mi ritrovo che con la composizione funzionale riesco in pratica a rendere bigettiva $f$, quindi mi chiedevo se lo scopo di questo teorema fosse questo oppure ha altre implicazioni.
Risposte
Certo che ne ha!
I teoremi di isomorfismi tra strutture algebriche (almeno gruppi; anelli e moduli) ed il teorema di rappresentazione degli spazi topologici quoziente.
I teoremi di isomorfismi tra strutture algebriche (almeno gruppi; anelli e moduli) ed il teorema di rappresentazione degli spazi topologici quoziente.
Ok, mi fido sulla parola 
, pero' non avendo ancora studiato quella parte di programma (prevista con Algebra 2, almeno per la teoria dei gruppi e degli anelli) non ho modo di capire quali siano le reali implicazioni.
Rimanendo nell'esempio banale che mi sono fatto intanto e' giusto quello che ho scritto, cioè che la composizione funzionale "rende" bigettiva $f$?
Poi magari se avete qualche esempio un po' più concreto del mio (ma sempre della stessa portata), giusto per capire meglio come funziona il teorema, ve ne sarei grato
, pero' non avendo ancora studiato quella parte di programma (prevista con Algebra 2, almeno per la teoria dei gruppi e degli anelli) non ho modo di capire quali siano le reali implicazioni.Rimanendo nell'esempio banale che mi sono fatto intanto e' giusto quello che ho scritto, cioè che la composizione funzionale "rende" bigettiva $f$?
Poi magari se avete qualche esempio un po' più concreto del mio (ma sempre della stessa portata), giusto per capire meglio come funziona il teorema, ve ne sarei grato
Il primo teorema di isomorfismo e' usato principalmente per calcolare i quozienti.
Diciamo che hai una certa struttura [tex]S[/tex] (un gruppo, un modulo, un anello) e una sottostruttura [tex]N[/tex] per cui puoi quozientare (risp. un sottogruppo normale, un sottomodulo, un ideale), e vuoi determinare il quoziente [tex]S/N[/tex]. L'idea e' cercare un'altra struttura [tex]T[/tex] e un omomorfismo [tex]S \to T[/tex] il cui nucleo sia [tex]N[/tex], e in questo modo il quoziente [tex]S/N[/tex] risultera' isomorfo all'immagine di [tex]S \to T[/tex].
Un esempio: considera il gruppo delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex], chiamalo [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex]. Considera il sottogruppo (normale) delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] di determinante [tex]1[/tex], chiamalo [tex]SL_n(\mathbb{R})[/tex]. Come determini il quoziente [tex]GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})[/tex]? Costruendo un opportuno omomorfismo [tex]GL_n(\mathbb{R}) \to \text{qualcosa}[/tex] il cui nucleo sia [tex]SL_n(\mathbb{R})[/tex]. In questo caso e' conveniente scegliere la funzione che manda una matrice nel suo determinante, [tex]GL_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}-\{0\},\cdot)[/tex]. Siccome tale funzione e' suriettiva, per il teorema di isomorfismo risulta [tex]GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong (\mathbb{R}-\{0\},\cdot)[/tex].
Oppure supponi di voler determinare il quoziente tra [tex]\mathbb{C}^{\times}[/tex] (il gruppo moltiplicativo dei complessi non nulli) e il sottogruppo (normale) [tex]N[/tex] che consiste dei numeri complessi di modulo [tex]1[/tex]. In questo caso considererai la funzione "modulo".
Un altro esempio: l'omomorfismo di valutazione [tex]\mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}[/tex] che manda [tex]x[/tex] in [tex]i[/tex] e fissa [tex]\mathbb{R}[/tex] determina un isomorfismo [tex]\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{C}[/tex].
Vedi qui per altri esempi.
Diciamo che hai una certa struttura [tex]S[/tex] (un gruppo, un modulo, un anello) e una sottostruttura [tex]N[/tex] per cui puoi quozientare (risp. un sottogruppo normale, un sottomodulo, un ideale), e vuoi determinare il quoziente [tex]S/N[/tex]. L'idea e' cercare un'altra struttura [tex]T[/tex] e un omomorfismo [tex]S \to T[/tex] il cui nucleo sia [tex]N[/tex], e in questo modo il quoziente [tex]S/N[/tex] risultera' isomorfo all'immagine di [tex]S \to T[/tex].
Un esempio: considera il gruppo delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] su [tex]\mathbb{R}[/tex], chiamalo [tex]GL_n(\mathbb{R})[/tex]. Considera il sottogruppo (normale) delle matrici invertibili [tex]n \times n[/tex] di determinante [tex]1[/tex], chiamalo [tex]SL_n(\mathbb{R})[/tex]. Come determini il quoziente [tex]GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R})[/tex]? Costruendo un opportuno omomorfismo [tex]GL_n(\mathbb{R}) \to \text{qualcosa}[/tex] il cui nucleo sia [tex]SL_n(\mathbb{R})[/tex]. In questo caso e' conveniente scegliere la funzione che manda una matrice nel suo determinante, [tex]GL_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}-\{0\},\cdot)[/tex]. Siccome tale funzione e' suriettiva, per il teorema di isomorfismo risulta [tex]GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong (\mathbb{R}-\{0\},\cdot)[/tex].
Oppure supponi di voler determinare il quoziente tra [tex]\mathbb{C}^{\times}[/tex] (il gruppo moltiplicativo dei complessi non nulli) e il sottogruppo (normale) [tex]N[/tex] che consiste dei numeri complessi di modulo [tex]1[/tex]. In questo caso considererai la funzione "modulo".
Un altro esempio: l'omomorfismo di valutazione [tex]\mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}[/tex] che manda [tex]x[/tex] in [tex]i[/tex] e fissa [tex]\mathbb{R}[/tex] determina un isomorfismo [tex]\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \cong \mathbb{C}[/tex].
Vedi qui per altri esempi.
Martino, intanto grazie per la risposta, però ad essere sincero non ho capito molto dato che ancora non ho gli strumenti per capire quanto hai scritto.
Ho provato a leggere anche la discussione che hai linkato ma è veramente troppo per me.
Diciamo che considero la tua prima frase "Il primo teorema di isomorfismo e' usato principalmente per calcolare i quozienti" come risposta ai miei dubbi, poi spero con il tempo di capire realmente
Ho provato a leggere anche la discussione che hai linkato ma è veramente troppo per me.
Diciamo che considero la tua prima frase "Il primo teorema di isomorfismo e' usato principalmente per calcolare i quozienti" come risposta ai miei dubbi, poi spero con il tempo di capire realmente
"Martino":
Vedi qui per altri esempi.
Vedo con piacere che quella discussione resta un evergreen della sezione
Ammetto che io stesso la ricordo sempre con estremo piacere e soprattutto con un po' di tenerezza: ero proprio agli inizi e penso di aver imparato moltissimo da quella discussione (e, caspita, mi ero divertito un sacco!).
"Paolo90":
ero proprio agli inizi e penso di aver imparato moltissimo...
E anche GundamRX91 ha fatto notevoli progressi in poco tempo, mi ricordo faceva domande alle quali sapevo rispondere pure io. Guarda, ha anche un Gundam nuovo.
"Rggb":
[quote="Paolo90"]ero proprio agli inizi e penso di aver imparato moltissimo...
E anche GundamRX91 ha fatto notevoli progressi in poco tempo, mi ricordo faceva domande alle quali sapevo rispondere pure io. Guarda, ha anche un Gundam nuovo.
[/quote]Oddio, se i notevoli progressi sono riferiti solo all'avatar (e dopo tanti anni di informatica sarebbe un magro progresso), allora è meglio che mi dia all'ippica; per la matematica sto cercando di dare il massimo e spero di fare presto domande più interessanti
A mio vedere questo teorema di isomorfismo (per insiemi) serve proprio a studiare glii insiemi quoziente. Chiaramente dal punto di vista insiemistico dicono poco e nulla (cardinalità), ma se riesci ad intuire la potenza di questo risultato vedrai che lo studio delle strutture algebriche risulterà molto facilitato.
Ti faccio vedere come senza usare strutture algebriche. Supponiamo di avere una funzione [tex]f: A \longrightarrow B[/tex] surgettiva tra insiemi, un'equivalenza [tex]\rho[/tex] su [tex]A[/tex] e di voler conoscere la cardinalità dell'insieme quoziente [tex]A \big / \rho[/tex]. Per il teorema di isormorfismo, detta [tex]\pi : A \longrightarrow A \big / \rho[/tex] la proiezione canonica, esiste un'unica funzione [tex]\sigma : A \big / \rho \longrightarrow B[/tex] bigettiva. Abbiamo dunque scoperto che [tex]|A \big / \rho|=|B|[/tex].
Con la tua funzione [tex]f:\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]f(x)=x^2\;\; \forall x\in \mathbb{Z}[/tex] il ragionamento si può applicare con l'accortezza di studiare [tex]f(\mathbb{Z})=\{z\in \mathbb{Z}\, |\, z=x^2\;\;\exists x\in \mathbb{Z} \}[/tex] invece che l'intero [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Ti faccio vedere come senza usare strutture algebriche. Supponiamo di avere una funzione [tex]f: A \longrightarrow B[/tex] surgettiva tra insiemi, un'equivalenza [tex]\rho[/tex] su [tex]A[/tex] e di voler conoscere la cardinalità dell'insieme quoziente [tex]A \big / \rho[/tex]. Per il teorema di isormorfismo, detta [tex]\pi : A \longrightarrow A \big / \rho[/tex] la proiezione canonica, esiste un'unica funzione [tex]\sigma : A \big / \rho \longrightarrow B[/tex] bigettiva. Abbiamo dunque scoperto che [tex]|A \big / \rho|=|B|[/tex].
Con la tua funzione [tex]f:\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]f(x)=x^2\;\; \forall x\in \mathbb{Z}[/tex] il ragionamento si può applicare con l'accortezza di studiare [tex]f(\mathbb{Z})=\{z\in \mathbb{Z}\, |\, z=x^2\;\;\exists x\in \mathbb{Z} \}[/tex] invece che l'intero [tex]\mathbb{Z}[/tex].
"Paolo90":Direi
Vedo con piacere che quella discussione resta un evergreen della sezione
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