(Primo) Teorema di isomorfismo
Teorema: Sia $f : G -> H$ un omomorfismo suriettivo di gruppi
e sia $K = "Ker" f$ . Allora il quoziente $G/K$ è isomorfo a $H$
tramite $h$ che manda la classe laterale $[a] = a K$ in $f (a)$; cioè $h([a]) := f(a)$ .
Questione: Volendo dimostrare questo teorema potrei avvalermi del teorema di fattorizzazione di un omomorfismo che sostanzialmente mi dà la possibilità di scrivere un omomorfismo come composizione di due omomorfismi $f = h ° phi$, dove
$h$ : omomorfismo iniettivo ,
$phi$ : omomorfismo suriettivo .
(Schema)
Devo dimostrare che $h$ è una biezione. Ma noi sappiamo che $h$ è iniettiva e che se il composto $f = h ° phi$ è suriettivo (e lo è per ipotesi), allora $h$ è suriettiva (un risultato notevole nel mondo funzionale-insiemistico).
Quindi è immediato come risultato.
Le domande sono le seguenti:
1) Ho definito la mia $h$ in modo (comodo) tale da poter usare il teorema di fattorizzazione di un omomorfismo?
2) Non mi interessa di definire $phi$?
3) Quadra tutto quel che ho scritto fino ad ora?
Grazie.
e sia $K = "Ker" f$ . Allora il quoziente $G/K$ è isomorfo a $H$
tramite $h$ che manda la classe laterale $[a] = a K$ in $f (a)$; cioè $h([a]) := f(a)$ .
Questione: Volendo dimostrare questo teorema potrei avvalermi del teorema di fattorizzazione di un omomorfismo che sostanzialmente mi dà la possibilità di scrivere un omomorfismo come composizione di due omomorfismi $f = h ° phi$, dove
$h$ : omomorfismo iniettivo ,
$phi$ : omomorfismo suriettivo .
(Schema)
Devo dimostrare che $h$ è una biezione. Ma noi sappiamo che $h$ è iniettiva e che se il composto $f = h ° phi$ è suriettivo (e lo è per ipotesi), allora $h$ è suriettiva (un risultato notevole nel mondo funzionale-insiemistico).
Quindi è immediato come risultato.
Le domande sono le seguenti:
1) Ho definito la mia $h$ in modo (comodo) tale da poter usare il teorema di fattorizzazione di un omomorfismo?
2) Non mi interessa di definire $phi$?
3) Quadra tutto quel che ho scritto fino ad ora?
Grazie.
Risposte
Manca qualche informazione? 
Ciao
il Teorema che stai dimostrando è illustrato nei dettagli sull'Herstein.
La $\phi$ è necessario definirla affinchè a sua volta sia un omomorfismo
il Teorema che stai dimostrando è illustrato nei dettagli sull'Herstein.
La $\phi$ è necessario definirla affinchè a sua volta sia un omomorfismo
"deserto":
Ciao
il Teorema che stai dimostrando è illustrato nei dettagli sull'Herstein.
La $\phi$ è necessario definirla affinchè a sua volta sia un omomorfismo
Il problema è che la dimostrazione (e non solo quella) cambia da testo a testo. Quindi mi chiedevo se il ragionamento che ho scritto nel post precedente era sufficiente a dimostrare l'isomorfismo tra $G"/"K$ e $H$.
Grazie.
Mi sono creato la seguente idea: ripetendoti il teorema fondamentale delle relazioni di equivalenza (click!) vedrai che il teorema di isomorfismo tra strutture algebriche non è altri che il precedente ove la relazione di equivalenza è la congruenza; notando che la proiezione canonica sia un epimorfismo.
Nel tuo caso basta che ti limiti ai gruppi!
Domanda bonus: quanto NON sono stato chiaro?
Nel tuo caso basta che ti limiti ai gruppi!
Domanda bonus: quanto NON sono stato chiaro?
"j18eos":
Domanda bonus: quanto NON sono stato chiaro?
In effetti - devi perdonarmi - non ho capito molto.
Perdonami tu, che tra l'altro ho scritto pure una sciocchezza come puoi leggere (con attenzione) di seguito.
Siano [tex]$G$[/tex] e [tex]$K$[/tex] un suo sottogruppo normale, sai dalla teoria che esso determina una relazione di congruenza sul gruppo [tex]$G$[/tex], il relativo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex] è strutturabile a gruppo con la seguente operazione [tex]$\cdot:([x]_K;[y]_K)\in G_{/K}\times G_{/K}\to [xy]_K\in G_{/K}$[/tex].
Detta [tex]$\pi$[/tex] la proiezione canonica, è [tex]$\forall x;y\in G,\,\pi(xy)=[xy]_K=[x]_K[y]_K=\pi(x)\pi(y)$[/tex], ovvero [tex]$\pi$[/tex] è un epimorfismo tra il gruppo [tex]$G$[/tex] ed il suo gruppo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex] e si dimostra che [tex]$K=\mathrm{ker}\pi$[/tex].
Premesso ciò: siano [tex]$G$[/tex] ed [tex]$H$[/tex] dei gruppi ed [tex]$f$[/tex] un omomorfismo tra essi, sai dalla teoria che [tex]$K=\mathrm{ker}f\triangleleft G$[/tex] quindi puoi considerare il gruppo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex]; esplicitamente [tex]$x;y\in G,\,x\equiv y(\mathrm{mod}K)\stackrel{d e f.}{\iff}f(x)=f(y)\in H$[/tex], ti ricordi la dimostrazione del teorema fondamentale delle classi di equivalenza (click!) ed hai che [tex]$\dot\exists\varphi:G_{/K}\to H\mid f=\pi\varphi$[/tex] con tale [tex]$\varphi$[/tex] iniettiva, essendo inoltre [tex]$\forall x;y\in G,\,\varphi(\pi(x)\pi(y))=\varphi(\pi(xy))=f(xy)=f(x)f(y)=\varphi(\pi(x))\varphi(\pi(y))$[/tex] hai che [tex]$\varphi$[/tex] è un monomorfismo tra i gruppi [tex]$G_{/K}$[/tex] ed [tex]$H$[/tex] da cui il I teorema di isomorfismo tra gruppi.
DOMANDA BONUS: sono stato leggermente più chiaro?
Siano [tex]$G$[/tex] e [tex]$K$[/tex] un suo sottogruppo normale, sai dalla teoria che esso determina una relazione di congruenza sul gruppo [tex]$G$[/tex], il relativo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex] è strutturabile a gruppo con la seguente operazione [tex]$\cdot:([x]_K;[y]_K)\in G_{/K}\times G_{/K}\to [xy]_K\in G_{/K}$[/tex].
Detta [tex]$\pi$[/tex] la proiezione canonica, è [tex]$\forall x;y\in G,\,\pi(xy)=[xy]_K=[x]_K[y]_K=\pi(x)\pi(y)$[/tex], ovvero [tex]$\pi$[/tex] è un epimorfismo tra il gruppo [tex]$G$[/tex] ed il suo gruppo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex] e si dimostra che [tex]$K=\mathrm{ker}\pi$[/tex].
Premesso ciò: siano [tex]$G$[/tex] ed [tex]$H$[/tex] dei gruppi ed [tex]$f$[/tex] un omomorfismo tra essi, sai dalla teoria che [tex]$K=\mathrm{ker}f\triangleleft G$[/tex] quindi puoi considerare il gruppo quoziente [tex]$G_{/K}$[/tex]; esplicitamente [tex]$x;y\in G,\,x\equiv y(\mathrm{mod}K)\stackrel{d e f.}{\iff}f(x)=f(y)\in H$[/tex], ti ricordi la dimostrazione del teorema fondamentale delle classi di equivalenza (click!) ed hai che [tex]$\dot\exists\varphi:G_{/K}\to H\mid f=\pi\varphi$[/tex] con tale [tex]$\varphi$[/tex] iniettiva, essendo inoltre [tex]$\forall x;y\in G,\,\varphi(\pi(x)\pi(y))=\varphi(\pi(xy))=f(xy)=f(x)f(y)=\varphi(\pi(x))\varphi(\pi(y))$[/tex] hai che [tex]$\varphi$[/tex] è un monomorfismo tra i gruppi [tex]$G_{/K}$[/tex] ed [tex]$H$[/tex] da cui il I teorema di isomorfismo tra gruppi.
DOMANDA BONUS: sono stato leggermente più chiaro?
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