Primi e quadrati
per quali primi $p$ l'espressione $(2^{p-1}-1)/(p)$ è un quadrato perfetto?
preso da una gara di matematica
lo posto perchè la soluzione "ufficiale" di questo quesito è moooolto più lunga e calcolosa della mia, e mi è venuto il dubbio che sia giusta
si vede subito che $p>2$ perchè il numeratore è sempre dispari. Dunque posso porre $p-1=2n$ e fare differenza di 2 quadrati al numeratore: $[(2^n+1)(2^n-1)]/(p)$. A questo punto noto che SOLO uno dei fattori al numeratore, diviso per $p$, deve dare un quadrato, mentre l'altro fattore deve essere un quadrato. Dunque bisogna vedere per quali $n$ uno dei fattori al numeratore è un quadrato. $2^n-1$ può essere un quadrato solo per $n=1$, perchè per $n>1$ avremmo un quadrato congruo a -1 modulo 4, il che è assurdo. Quindi, da $n=1$ otteniamo $p=3$ che effettivamente verifica la condizione. Ora vediamo per quali $n$ abbiamo $2^n+1=a^2$. Spostiamo 1 al secondo membro e fattorizziamo: otteniamo $2^n=(a+1)(a-1)$. I due fattori al secondo membro sono due pari consecutivi ma anche potenze di 2, e gli unici due pari consecutivi entrambi potenze di 2 sono 2 e 4. Dunque $a=3$, da cui $n=3$ e $p=7$.
Può andare?
preso da una gara di matematica
lo posto perchè la soluzione "ufficiale" di questo quesito è moooolto più lunga e calcolosa della mia, e mi è venuto il dubbio che sia giusta
si vede subito che $p>2$ perchè il numeratore è sempre dispari. Dunque posso porre $p-1=2n$ e fare differenza di 2 quadrati al numeratore: $[(2^n+1)(2^n-1)]/(p)$. A questo punto noto che SOLO uno dei fattori al numeratore, diviso per $p$, deve dare un quadrato, mentre l'altro fattore deve essere un quadrato. Dunque bisogna vedere per quali $n$ uno dei fattori al numeratore è un quadrato. $2^n-1$ può essere un quadrato solo per $n=1$, perchè per $n>1$ avremmo un quadrato congruo a -1 modulo 4, il che è assurdo. Quindi, da $n=1$ otteniamo $p=3$ che effettivamente verifica la condizione. Ora vediamo per quali $n$ abbiamo $2^n+1=a^2$. Spostiamo 1 al secondo membro e fattorizziamo: otteniamo $2^n=(a+1)(a-1)$. I due fattori al secondo membro sono due pari consecutivi ma anche potenze di 2, e gli unici due pari consecutivi entrambi potenze di 2 sono 2 e 4. Dunque $a=3$, da cui $n=3$ e $p=7$.
Può andare?
Risposte
...A me piace molto!
"bestiedda":
... avremmo un quadrato congruo a -1 modulo 4, il che è assurdo.
Congruo a $+1$.
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