Primi di Gauss
Vorrei chiedere se possibile la dimostrazione del fatto che gli irriducibili nell'anello degli interi di Gauss sono tutti e soli i primi $ p in ZZ $ tali che $ p -= 3 (mod 4) $ .
Grazie anticipatamente
Grazie anticipatamente
Risposte
"TheHawk90":Non capisco. Cosa intendi per "irriducibile nell'anello degli interi di Gauss"?
Vorrei chiedere se possibile la dimostrazione del fatto che gli irriducibili nell'anello degli interi di Gauss sono tutti e soli i primi $ p in ZZ $ tali che $ p -= 3 (mod 4) $ .
Grazie anticipatamente
----------
Gli "Interi di Gauß" sono numeri complessi del tipo a+b·i (dove i è l'unità immaginaria per la quale i^2 = –1) con a e b entrambi interi.
Per definizione, i "primi di Gauß" sono i particolari interi di Gauß che rispettano una delle seguenti proprietà.
Sia z = a+b·i.
1) Se a ≠ 0 e anche b ≠ 0, allora z = a + b·i è un "primo di Gauß" se la sua norma (a + b·i)·(a – b·i) = a^2 + b^2 è un numero primo (ordinario).
[Es: z = 4 + 5·i è "primo di Gauß" perché 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 è un numero primo].
2) Se è a = 0 (cioè: l'intero di Gauss è immaginario, z = b·i), z è un primo di Gauss se b è primo e congruo 3 modulo 4.
[Es: z = 23·i è un "primo di Gauß" perché 23 è primo e 23 = 4·5 + 3, ossia 23 = 3 (mod 4)].
2) Se è b= 0 (cioè: l'intero di Gauss è reale, z = a), z è un primo di Gauss se a è primo e congruo 3 modulo 4.
[Es: z = 43 è un "primo di Gauß" perché 43 è primo e 43 = 4·10 + 3, ossia 43 = 3 (mod 4)].
[NB: Ho semplicemente tradotto da una pagina di "wolfram.com".
V. http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html ]
Temo che tu consideri il sotto-insieme di numeri interi di Gauß costituito dai soli interi reali positivi.
Tra questi, sono "primi di Gauß" i numeri che sono primi e sono congrui 3 modulo 4, ossia:
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103,...
Se così ... l'affermazione che «il numero primo p è un "primo di Gauß" se e solo se p = 3 (mod 4)» fa parte della definizione di "primo di Gauß", non è un teorema!
_______
Erasmus_First questa discussione è stata aperta nel 2012 dubito che l'autore ti possa leggere
In ogni caso, occhio, un elemento irriducibile in un anello ha una definizione generale (questa) ed è a questa che ci si sta riferendo. Wolfram.com riassume le proprietà dei primi di Gauss, che sono per definizione gli elementi primi dell'anello degli interi di Gauss (in questo anello primo e irriducibile sono sinonimi perché è un PID).
Osserva che TheHawk90 sta enunciando una cosa falsa, perché per esempio $1+i$ è irriducibile ma non è della forma che dice lui. Lui intende dire che i numeri interi positivi $n \in \mathbb{Z}$ quando visti come interi di Gauss sono irriducibili se e solo se sono numeri primi congrui a 3 modulo 4. Osserva che perché un tale $n$ sia irriducibile serve come minimo che sia un primo nel senso usuale (cioè che non sia prodotto di due numeri interi diversi da $\pm 1$) perché qualsiasi fattorizzazione in $\mathbb{Z}$ è anche una fattorizzazione nell'anello degli interi di Gauss. Osserva inoltre che un tale numero primo $p$ è riducibile (come intero di Gauss) se e solo se $p = (a+ib)(c+id)$ per opportuni $a+ib$ e $c+id$ (non invertibili) ed ora prendendo le norme ottieni che $p^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ da cui poiché $p$ è primo si ha $p = a^2+b^2 = c^2+d^2$. D'altra parte se $p = a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib)$ è chiaro che $p$ è riducibile. Quindi siamo ridotti a studiare i numeri primi che sono somma di due quadrati. In altre parole siamo ridotti a mostrare che i primi dispari che sono somma di due quadrati sono tutti e soli quelli congrui a 1 modulo 4 (!) Più in generale si può mostrare che un numero naturale è somma di due quadrati se e solo se nella sua fattorizzazione (unica) in potenze di primi i primi congrui a 3 modulo 4 appaiono con esponente pari.
Per approfondire vedi altre discussioni sul forum tipo questa(1) e questa(2).
In ogni caso, occhio, un elemento irriducibile in un anello ha una definizione generale (questa) ed è a questa che ci si sta riferendo. Wolfram.com riassume le proprietà dei primi di Gauss, che sono per definizione gli elementi primi dell'anello degli interi di Gauss (in questo anello primo e irriducibile sono sinonimi perché è un PID).
Osserva che TheHawk90 sta enunciando una cosa falsa, perché per esempio $1+i$ è irriducibile ma non è della forma che dice lui. Lui intende dire che i numeri interi positivi $n \in \mathbb{Z}$ quando visti come interi di Gauss sono irriducibili se e solo se sono numeri primi congrui a 3 modulo 4. Osserva che perché un tale $n$ sia irriducibile serve come minimo che sia un primo nel senso usuale (cioè che non sia prodotto di due numeri interi diversi da $\pm 1$) perché qualsiasi fattorizzazione in $\mathbb{Z}$ è anche una fattorizzazione nell'anello degli interi di Gauss. Osserva inoltre che un tale numero primo $p$ è riducibile (come intero di Gauss) se e solo se $p = (a+ib)(c+id)$ per opportuni $a+ib$ e $c+id$ (non invertibili) ed ora prendendo le norme ottieni che $p^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ da cui poiché $p$ è primo si ha $p = a^2+b^2 = c^2+d^2$. D'altra parte se $p = a^2+b^2 = (a+ib)(a-ib)$ è chiaro che $p$ è riducibile. Quindi siamo ridotti a studiare i numeri primi che sono somma di due quadrati. In altre parole siamo ridotti a mostrare che i primi dispari che sono somma di due quadrati sono tutti e soli quelli congrui a 1 modulo 4 (!) Più in generale si può mostrare che un numero naturale è somma di due quadrati se e solo se nella sua fattorizzazione (unica) in potenze di primi i primi congrui a 3 modulo 4 appaiono con esponente pari.
Per approfondire vedi altre discussioni sul forum tipo questa(1) e questa(2).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo