Presentazione di gruppi

[LLLorenzzz]

Ciao a tutti.

Vorrei chiedervi se secondo voi queste due presentazioni di gruppi sono presentazioni di gruppi isomorfi
$$ e $$
Non riesco a vederlo a occhio e non ho capito bene la tecnica con cui si può vedere se due presentazioni sono equivalenti, potete aiutarmi? Nello specifico dovrebbero essere due presentazioni del gruppo fondamentale della bottiglia di Klein, che ho ottenuto con due metodi di calcolo diversi, e volevo appunto capire se ho fatto degli errori in uno dei due, o se il gruppo che ho calcolato nei due casi è lo stesso.

Grazie, ciao!

[vict85]

Non esiste un metodo generale per capire quando due presentazioni sono isomorfe anche se in teoria si può sempre passare da una all'altra usanto le trasformazioni di tietze http://en.wikipedia.org/wiki/Tietze_transformations .

Detto questo penso che nel caso specifico si possa usare l'intuizione geometrica per capire i passaggi necessari. Non ho controllato se i due gruppi sono corretti.

[LLLorenzzz]

sì le trasformazioni di tietze me le hanno spiegate a lezione, ma non ho capito in pratica come si usano; chiedevo proprio se c'è qualcuno che può farmi vedere su questo esempio concreto

[j18eos]

Scusate l'intromissione da profano, ma nelle presentazioni date non dovresti specificare qualcosa meglio la relazione? Oppure sottointendi che ad esempio [tex]$a^2b^{-2}=1$[/tex]?!

[LLLorenzzz]

ciao j18eos
sì esatto intendo proprio quello che dici tu, cioè che il relatore è banale; in altri termini, che il mio gruppo è il quoziente del gruppo libero su 2 generatori modulo il sottogruppo generato da quell'elemento lì.

[j18eos]

Cia0 LLLorenzzz, grazie del chiarimento!

Tanto io le presentazioni dei gruppi non le ho studiate (ancora?).

[vict85]

"j18eos":Cia0 LLLorenzzz, grazie del chiarimento!

Tanto io le presentazioni dei gruppi non le ho studiate (ancora?).

In realtà il tuo si basa sulla definizione di relazione "logica" mentre invece nelle presentazioni di gruppi, come le ha studiate LLLorenzzz e come si fanno generalmente, con relazione si intende una cosa leggermente differente ma equivalente.

Se sai cos'è un gruppo libero (non abeliano ) saprai che per ogni gruppo G generato da un insieme S (in realtà S potrebbe essere un insieme più generale ma ora non ha importanza) esiste un omomorfismo suriettivo dal gruppo libero su S a G. Una presentazione è una coppia dove il primo è l'insieme di generatori e il secondo un sottoinsieme di elementi del gruppo libero il cui normalizzatore è il kernel dell'omomorfismo detto sopra.

Con relazione si intende in generale ogni elemento del kernel di quell'omomorfismo e viene scritto come prodotto di elementi di S. L'equivalenza delle due relazioni sta nel fatto che ogni elemento del kernel è mappato in uno e quindi l'immagine di quel prodotto è uguale a 1.


Detto questo torno a LLLorenzzz. Il problema sta proprio nel fatto che non esiste un algoritmo che genera tutte le presentazioni di un particolare gruppo. Tu sai che puoi passare da uno all'altro ma non ti dice quale successione di trasformazioni usare. In generale è meglio studiare le proprietà dei due gruppi, soprattutto considerando che questi due immagino siano piccoli.

[LLLorenzzz]

Eh sì piccoli sono piccoli..però proprio non riesco a vedere se sono lo stesso gruppo o no. So che non c'è un metodo generale, però mi chiedevo se qualcuno mi poteva aiutare su questo singolo caso particolare, per capire un po' come di solito si usano le trasformazioni di Tietze.